Hoek tussen twee vlakken met twee gemeenschappelijke punten én orientatie

Jody, 26 jaar
4 april 2011

Gegeven zijn vier punten in de driedimensionale ruimte: P1, P2, P3 en P4. Hieruit vorm ik het vlak door P1,P2 en P3 en het vlak vlak P2, P3 en P4. Door gebruik te maken van de formule cos θ = < N1 , N2 > / ( || N1|| . ||N2 || ) bekom ik de hoek tussen deze twee vlakken.

Echter zou ik niet enkel de waarde van de hoek willen kennen, maar ook de zin: wanneer ik kijk van punt P3 naar P2, ligt P1 dan links of rechts van P4. Hoe kan ik dit berekenen?

Alvast bedankt!

Antwoord

Beste Jody,


Bij het bepalen van een geöriënteerde hoek moeten we beseffen dat het oogpunt van waaruit de we situatie bekijken erg belangrijk is. Om maar te kijken naar je laatste vraag: Als ik kijk van punt P3 naar P2, ligt P1 dan links van P4? Hierbij zou je een omgekeerd antwoord krijgen indien je om je kop gaat staan en 180 graden rond de as P2-P3 te draaien. Daarom moeten we erg voorzichtig zijn en de vraag goed formuleren.

Ik hoop dat ik je vraag goed begrijp als ik ze vertaal naar: als ik van P2 naar P3 kijk en ik noem α1 het halfvlak waar P1 in ligt en αhet halfvlak waar P4 in zit, wat is dan de hoek (tussen -180 graden en 180 graden) die gemaakt wordt tussen α1 en α2? Hierbij komt een positieve hoek overeen met draaien in tegenwijzerzin.

Een handige methode voor het bepalen van een geöriënteerde hoek is door gebruik te maken van het vectorieel product van 2 vectoren (ook wel kruisproduct genoemd). 

Het vectorieel product v ∧ w  van 2 vectoren v en w is de vector die loodrecht staat op v en loodrecht staat op w, zodat v, w en v ∧ w voldoen aan de rechterhandregel. 3 (lin. onafh.) vectoren a,b,c voldoen aan de rechterhandregel indien de oriëntatie van de vectoren goed zit als vector a wordt vergeleken met de duim, vector b wordt vergeleken met de wijsvinder en vector c wordt vergeleken met de middelvinger (allen van de rechterhand). (Deze regel noemt men ook de kurkentrekker regel).

In het geval van jouw probleem moeten we dan het vectorieel product van de vectoren N1 en N2 vergelijken met de vector P2P3. Hierbij is het wel belangrijk dat je de oriëntatie van je N1 en N2 kent.

Een mogelijk scenario is het volgende (met benamingen zoals in de figuur).
Bepaal N1 als (P2P1 ∧ P2P3) / ||P2P1 ∧ P2P3|| en N2 als (P2P4 ∧ P2P3) / || P2P4 ∧ P2P3 ||.
De hoek θ komt dan overeen met de geöriënteerde hoek van N1 naar N2. Verder is N1 ∧ N2 = k*P1P2. Indien k positief is zal dit een positieve hoek zijn (wijzerzin), indien k negatief is zal dit een negatieve hoek zijn.

In het voorbeeld zal N1 ∧ N2 in de tegengestelde zin wijzen als P2P3 (gebruik immers de rechterhandregel) en wordt de hoek θ gegeven in tegenwijzerzin, indien je kijkt vanaf P2 naar P3.

Met de beste groeten,

Stijn Symens

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen