Een 3Dbol is voor te stellen als een verzameling cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt. Is een 4Dhyperbol/glome voor te stellen als een verzameling bollen met een gemeenschappelijk middelpunt?

Dick, 55 jaar
6 februari 2011

Antwoord

Beste Dick

Het voorstellen van een (driedimensionale) bol aan de hand van concentrische cirkels kan je op volgende manier bekijken. Voor het gemak neem ik een bol met middelpunt in de oorsprong en straal r, deze heeft een cartesische vergelijking van de vorm

x² + y² + z² = r²

Als je de verzameling punten van deze bol bekijkt die op een vaste hoogte z = c liggen, dan zijn dit de punten die voldoen aan:

x² + y² = r² - c²

Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal sqrt(r²-c²), voor c tussen -r en r. Meetkundig kan je dit zien als de doorsnede van de bol met het vlak z = c, evenwijdig met het xy-vlak. Door verschillende van deze cirkels te tekenen, elk voor een zekere c-waarde, krijg je inzicht in de grafiek van de (driedimensionale) bol aan de hand van (tweedimensionale) cirkels.

Hetzelfde kan je doen voor de (vierdimensionale) hyperbol. Als ik de vierde coördinaat w noem en we nemen opnieuw het middelpunt in de oorsprong en straal r, dan veralgemeent de cartesische vergelijking zich eenvoudig tot:

x² + y² + z² + w² = r²

Een volledige grafische voorstelling is nu niet meer mogelijk in drie dimensies, maar we kunnen wel opnieuw kijken naar de punten op een 'vaste hoogte', oftewel de doorsnede met een 'hypervlak'. Die 'hoogte' valt nu niet meer letterlijk te nemen, maar analoog beschouwen we weer de punten met een constante w-waarde, bv. w = c:

x² + y² + z²  = r² - c²

Voor c tussen -r en r zijn dit nu concentrische bollen met straal sqrt(r²-c²). Voor verschillende waarden van c, krijgen we op deze manier een voorstelling van de (vierdimensionale) hyperbol aan de hand van een verzameling (driedimensionale) bollen: beginnend met enkel de oorsprong (c = -r of c = r) en oplopend tot een bol met straal r (c = 0).

Je kan natuurlijk weer een dimensie hoger gaan, maar dan zijn zelfs die doorsnedes niet meer in drie dimensies te tekenen. Je ziet wel dat deze methode in het algemeen zal toelaten om informatie over verzamelingen in dimensie k, niet noodzakelijk (hyper)bollen, voor te stellen met behulp van verzamelingen in dimensie k-1.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen