Hoe bereken je de afgeleiden van bijvoorbeeld x^(x²) of (x^x)² ?

Maaike , 19 jaar
5 januari 2011

Antwoord

Heel eenvoudig te doen : stel, je wil de afgeleide van een functie van de vorm

h(x) = f(x)g(x)

Het probleem zit in het feit dat x zowel voorkomt in f(x) als in g(x), dus in die macht. Daar kunnen we van afgeraken door er de natuurlijke logaritme van te nemen.   Neem dus van beide leden eerst eens het natuurlijke logaritme:

ln(h)  =  ln (f g)  = g . ln(f)

dit laatste dankzij de eigenschap van alle logaritmen :  log(ab) = b . log(a)

Nu links en rechts afleiden:

h' / h  = g ' . ln(f)  + g . f ' / f

en ten slotte de h uit de noemer links terug naar rechts, en daar weer vervangen door f g  :

h ' =  f g . [ g ' . ln(f) + g . f ' / f ]

Probeer maar eens met  xx :

je vindt dan als afgeleide :    xx  . [ ln(x) + 1 ]


Nog even dit :
let erop waar je haakjes zet bij machten want  a^(b^c) is niet hetzelfde als (a^b)^c.

Zo is :   (2^3)^4 = 4096

maar :   2^(3^4) = 2417851639229258349412352

een "beetje" meer dus.

Als men geen haakjes zet, is de regel dat men dat leest zoals in het tweede geval,
dus a^b^c = a^(b^c)
maar algemeen is dat niet, dus zeker als je software gebruikt even nagaan.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
http://www.kuleuven.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen