Is oneindig keer nul gelijk aan 1?

David, 17 jaar
3 juli 2010

Mijn vriend heeft het altijd over oneindig en als je het vermenigvuldigt met 0 dat het antwoord 1 zou zijn. Er vanuitgaande dat oneindig het aantal hoeken in een cirkel is en dus bestaat. Zijn beredenatie is als volgt:
Eerst stelt hij het volgende.
2*oneindig=oneindig. daar zijn we het over eens.
daarna dat iets oneindig kleins gelijk aan nul is.
namelijk: 0,999....(oneindig negens)=1
want 0,999...=X
10x=9,999...
10x-x=9,9999...-0.999....=9x=9
1x=1

dus is 0,0.....01 = 0.
want 0,9+0,1=1
0,999+0,001=1
0,999...+0,0...01=1

als we het hier over eens zijn kunnen we verder.

1*1=1
10*0,1=1
100*0,01=1
1000*0,001=1
dus
10^2*10^-2=1
10^3*10^-3=1
10^x*10^-x=1

dussss

10^oneindig * 10^-oneindig= 1

boven stelde we dat veelvouden en dergelijke van oneindig nog steeds oneindig zijn. dus 10^oneindig = oneindig.
Ook stelde we dat iets oneindig kleins 0 is. 10^-oneindig = 1/(10^oneindig)
= 1/oneindig = 0.
oneindig * 0 =1

Antwoord

Beste David


Op die manier "spelen met oneindig" is "gevaarlijk". Het is belangrijk te onthouden dat oneindig geen reëel getal is en de gewone rekenregels voor reële getallen, zijn dus niet zomaar geldig voor oneindig. We kunnen aan de reële getallen de elementen "-∞" en "+∞" toevoegen. Voor elk reëel getal x geldt dan: -∞ < x < +∞.

Een aantal bewerkingen kunnen we zonder problemen uitbreiden zodat we ook met deze nieuwe elementen kunnen 'rekenen'. Voorbeelden hiervan zijn (x is steeds een reëel getal):

(+∞) + x = x + (+∞) = +∞
(-∞) + x = x + (-∞) = -∞
(+∞) + (+∞) = +∞
(-∞) + (-∞) = -∞
x*(+∞) = (+∞)*x = +∞ als x > 0
x*(+∞) = (+∞)*x = -∞ als x < 0
x/(+∞) = x/(-∞) = 0 als x ≠ 0
...

Jouw voorbeeld van 2*(+∞) = +∞ kunnen we dus inderdaad zo stellen. Maar stel dat je op dit moment beide leden zou "delen door +∞" om +∞ aan beide kanten te "schrappen", dan zou er 2 = 1 staan en dat klopt natuurlijk niet. De regel dat je beide leden door een reëel getal (verschillend van 0) mag delen, geldt dus niet voor "+∞" (of "-∞").

Naast de lijst van rekenregels hierboven, zijn er ook een aantal uitdrukkingen waar we geen waarde aan kunnen toekennen. Voorbeelden hiervan zijn:

(+∞) - (+∞), (+∞) + (-∞), 0*(±∞), 1^(+∞), (±∞)/(±∞), ...

Jouw voorbeeld van 0*(+∞) hoort hier dus ook bij. Deze bewerkingen kunnen we niet zinvol definiëren als we al onze oude rekenregels van de reële getallen willen behouden.

De gevallen hierboven waar het 'misloopt', noemen we ook "onbepaalde vormen". De reden hiervoor vinden we bij (limieten van) functies. Stel dat er een functie met voorschrift f(x) naar 0 gaat wanneer x naar 0 gaat en dat er een tweede functie is met voorschrift g(x) waarbij g(x) naar +∞ gaat als x naar 0 gaat. We kunnen dan kijken wat het product f(x)*g(x) doet. Bij gewoon "invullen" zou je de vorm 0*(+∞) krijgen, maar wat kan er allemaal gebeuren?

a. f(x) = x² en g(x) = 1/x, dan is f(x)*g(x) = x²/x = x, dit gaat naar 0 als x naar 0 gaat,
b. f(x) = x en g(x) = 1/x, dan is f(x)*g(x) = x/x = 1, dit blijft 1 als x naar 0 gaat,
c. f(x) = x en g(x) = 1/x³, dan is f(x)*g(x) = x/x³ = 1/x², dit gaat naar +∞ als x naar 0 gaat.

We hebben hier dus drie voorbeelden gevonden van de onbepaalde vorm 0*(+∞) waarvoor de limiet telkens iets anders is; 0, 1 en zelfs +∞. Door in geval b. voor g(x) = k/x te nemen met k een willekeurig reëel getal, kan je zelfs elke k die je maar wil als uitkomst krijgen.

Omdat je bij 0*(+∞) telkens een andere waarde kan krijgen, afhankelijk van de "manier waarop" je die 0 en die +∞ bekomt, noemen we die uitdrukking net een "onbepaalde vorm". Hetzelfde geldt voor de andere onbepaalde vormen in het vorige lijstje.

Over de zaken die je opschrijft in de "redenering", een paar opmerkingen:
- 0,999... is inderdaad 1, als je het over reële getallen hebt en dat eerste een oneindig doorlopende decimale ontwikkeling is met allemaal negens;
- 0,000...1 met als bedoeling "oneindig veel nullen en dan een 1" bestaat niet; als er oneindig veel nullen volgen kan je niet "daarna" nog een 1 schrijven, het getal 0,000... is gewoon 0;
- Wat wel 'klopt' (in feite: een zinvolle definitie is), is 1/(+∞) = 0; dan staat ook in het eerste lijstje; je mag daaruit echter niet concluderen dat 0*(+∞) = 1;
- 10x.10-x is inderdaad gelijk aan 1, voor elke reële x; de uitdrukking 10+∞.10-∞ is echter een onbepaalde vorm (zie eerder); de "dussss" daarna is dus gevaarlijk!

Het rekenen met oneindig is misschien leuk en interessant, maar zoals je ziet moet je wel erg voorzichtig zijn.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw