Is er een (wiskundig) verschil tussen toeval en onzekerheid?

Wim, 32 jaar
26 februari 2010

Een stochastisch model is steeds gebaseerd op toeval (een willekeurige variabele). Is dit hetzelfde als zeggen dat een stochastisch model gebaseerd is op onzekerheid? Of is er toch een verschil? Of een andere analogie: is zeggen dat de chaostheorie vertrekt uit een onzekerheidsbeginsel hetzelfde als zeggen dat ze vertrekt uit een toevalligheid?

Antwoord

Beste Wim,

Laat mij onmiddellijk zeggen dat 'Toeval/willekeur' wiskundig niet goed gedefineerd kan worden. Een model gaat steeds uit van onzekerheid, niet van toeval! Het verschil tussen toeval en onzekerheid is beschreven door de Paradox van Bertrand (Calcul des probabilités (1889)).

Bertrand stelde zich de vraag : Neem een gelijkzijdige driehoek met een omgeschreven cirkel. Als men in deze cirkel een toevallige koorde tekent, wat is dan de kans dat deze koorde langer is dan de zijde van de driehoek?

Bertrand toonde aan dat deze kans niet bestaat! Deze kans kan bv. 1/3,1/4 of 1/2 zijn. Het hangt ervan af wat je bedoelt met een toevallige koorde.

Als je de eerste figuur opent, dan zie je dat men de cirkel draait, zodanig dat de willekeurige koorde evenwijdig is met een zijde van de driehoek. Deze draaiing mag ik steeds uitvoeren wegens de rotatiesymmetrie van een cirkel. Dan is het eenvoudig te zien dat de kans op een koorde langer dan de zijde van de driehoek exact 1/2 is.

In de tweede figuur, draait men de cirkel zodanig dat de koorde vertrekt uit een hoekpunt  van de driehoek. Opnieuw is deze draaiing toegelaten wegens de rotatiesymmetrie van de cirkel. Je krijgt op een eenvoudige manier dat de kans nu 1/3 wordt.

Wat is theoretisch nu het verschil. Het verschil zit hem in de kansruimte die je definieert en dus wat je exact met een toevallige koorde bedoelt.

Wat is dat een kansruimte?

Een kansruimte bestaat uit 3 objecten. Enerzijds de verzameling van alle mogelijke observaties ongeacht hoe frequent deze voorkomen: vaak heet dit de oplossingenruimte of sample space. Het tweede is wat men de sigma-algebra of stam heet. Dit is de verzameling van gebeurtenissen. Een gebeurtenis is een deelverzameling van de oplossingenruimte waar je een kans kan over berekenen. Dit kan bijvoorbeeld niet op alle mogelijke deelverzamelingen. Het laatste is de kansverdeling. Deze zegt je hoe je een kans moet toewijzen aan een bepaalde gebeurtenis.

Het verschil tussen de twee berekeningswijzes uit de figuren zit hem in de kansruimten die verschillend zijn. In het bijzonder zijn de gebeurtenissen niet gelijk! In het eerste geval ga je de lengte van de koorde associeren met de loodrechte afstand tot het middelpunt van de cirkel. In het tweede geval ga je de lengte van de koorde associëren met de hoek die de koorde maakt t.o.v. de raaklijn aan de cirkel in het hoekpunt.

Je kan dus niet wiskundig over toeval spreken, want twee toevallige gebeurtenissen kunnen uit twee verschillende kansruimten komen. Bijgevolg kan je moeilijk een uitspraak doen. De toevalligheid binnen eenzelfde kansruimte heet de onzekerheid op de observaties. Als je dus een statistisch model beschouwt dan zullen alle observaties uit eenzelfde kansruimte komen!

De onvoorspelbaarheid van chaos is niet door de ONZEKERHEID want indien het alleen onzekerheid zou zijn dan volstaathet om een 'goed' statistisch model te vinden om over dat systeem uitspraken te doen.  Chaos is echter heel wat moeilijker. Chaos is meestal niet random. Het ziet er uit als random, dit heet deterministische chaos. Vaak is een chaotisch systeem opgedeeld in een 'braaf' tijdsinvariant systeem plus een deterministisch chaotisch stuk. Dan spreekt men soms van stochastische chaos (= deterministische chaos + onzerkerheid). Bij Chaos ben je heel gevoelig aan variaties van de begin en eindcondities van het systeem.

Bij dynamische tijdsinvariante systemen (elektrische systemen, signaaltransmissie, etc...), komen alle observaties uit dezelfde kansruimte. De onvoorspelbaarheid is te wijten aan de ruis of de onzekerheid. Voor zulke systemen volstaat een statistisch model.

Voor tijdsvarierende systemen (zoals de beurs, ontploffingen, afsterven van levende cellen), komen metingen op verschillende tijdspunten niet uit dezelfde kansruimte MAAR er is een 'trage' verandering van de kansveranderlijke over de tijd. Deze kan je dan beschrijven via een tijdsvarierende model.

Conclusie: ONZEKERHEID is altijd binnen 1 kansveranderlijke, TOEVAL/WILLEKEUR kan ervoor zorgen dat twee gebeurtenissen uit 2 verschillende kansruimten komen.

Hopelijk beantwoordt dit je vraag.

Groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

Prof. Dr. Kurt BarbĂ©

Wiskunde, Statistiek, kansrekening, wetenschappelijk rekenen

Vrije Universiteit Brussel
Pleinlaan 2 1050 Elsene
http://www.vub.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen