Wat is de afgeleide van x^x ? En hoe bereken je dit?

Antwoord

Heel eenvoudig te doen : ik leg je even uit hoe je de afgeleide bepaalt van een functie

h(x) = f(x)^g(x)

Uw functie x^x is daar een speciaal geval van.

Het probleem zit in die macht. Daar kunnen we van afgeraken door er de natuurlijke logaritme van te nemen.   Neem dus van beide leden de natuurlijke logaritme :

ln(h)  =  ln (f ^g)  = g . ln(f)

dit laatste dank zij de eigenschap van alle logaritmen :  log(a^b) = b . log(a)

Nu links en rechts afleiden :

h' / h  = g ' . ln(f) + g . f ' / f

en tenslotte de h uit de noemer links terug naar rechts, en daar weer vervangen door f ^g  :

h ' =  f ^g . [ g ' . ln(f) + g . f ' / f ]

Probeer maar eens met  x^x :

je vindt dan als afgeleide :    x^x  . [ ln(x) + 1 ]