Hoe wordt de lengte van een grafiek berekend?

Joeri, 19 jaar
11 januari 2010

Ik vroeg me af of de lengte van een functie kan berekend worden, hiermee bedoel ik de lengte van de lijn die een functie beschrijft in een bepaald interval.

Voor een aantal specifieke gevallen kunnen meetkundige regels gebruikt in mijn ogen. Zo zal dit eenvoudig zijn voor eerstegraadsfuncties, omdat er nu eenmaal een formule bestaat voor de lengte van de zijden. Ook de booglijn is in het middelbaar reeds berekend.

Ik vroeg me echter af of er een algemene methode bestaat voor een functie in één veranderlijke om de lengte van de grafiek te berekenen. Ik vermoed dat dit met differentie/differentiaal vergelijkingen wel mogelijk is.

Antwoord

Voor een functie y(x), een zogenaamde expliciete functie van 1 veranderlijke, kan de booglengte S bepaald door de grenzen x=a tot x = b, bepaald worden met de formule :

S  = integraal [  wortel ( 1 + y ' 2 ) . dx , x = a .. b]               waarbij a < b

waarbij y ' de afgeleide van y(x) is. Dus je moet de wortel van ( 1 plus het kwadraat van de afegeleide) integreren tussen de ondergrens x = a en de bovengrens x = b

De afleiding is heel eenvoudig, zie bijvoorbeeld :
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ArcLength.aspx

Voor de meer algemenere functies in parametervorm { x = f(t), y = g(t) }
 of functies in vectorvorm :  R(t)  = f(t) E1 + g(t) E2

geldt vanuit dezelfde afleiding de formule

S = integraal [  wortel ( f ' 2 + g ' 2 ) . dt , t = t1 .. t2 ]            waarbij t1 < t2

Dezeformule kan trouwens ook worden uitgebreid tot parameterfuncties of vectorfuncties in 3 dimensies : S = integraal [  wortel ( f ' 2 + g ' 2 + h ' 2) . dt , t = t1 .. t2 ]
en in principe tot gelijk welk aantal dimensies.

Tenslotte, voor functies in poolcoordinaten  r(θ) geldt :

S = integraal [  wortel ( r 2 + r ' 2 ) . dθ , θ = θ1 .. θ2 ]             waarbij θ1 < θ2

deze laatste volgt overigens uit de formule voor parametervorm in  2 dimensies waarbij je zegt 
x = f(θ) = r(θ) cos θ   en  y = g(θ) = r(θ) sin θ



Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen