hoe komt het dat het verschil van de kwadraten van twee opeenvolgende strikt positieve reële getallen gelijk is aan de som van de twee grondtallen van die kwadraten

Lorenz, 14 jaar
18 november 2009

een voorbeeld : 11² = 121
12² = 144
144-121=23
en
11+12= 23
hoe komt dit? Dit gebeurt bij bij elke twee opeenvolgende strikt positieve reële getallen.

Antwoord

Beste Lorenz


Aangezien je het hebt over "opeenvolgende strikt positieve reële getallen", vermoed ik dat je eigenlijk natuurlijke getallen bedoelt. Een voorbeeld bewijst natuurlijk niet dat iets algemeen waar is, maar waarschijnlijk heb je het al voor vele gevallen getest, zoals bijvoorbeeld:

7² - 6² = 49-36 = 13 = 7 + 6

Als je verwacht dat dit waar is voor alle natuurlijke getallen, kan je dit proberen te bewijzen. Voor een verschil van twee kwadraten ken je misschien nog de volgende formule:

a² - b² = (a-b)(a+b)

Deze kan van pas komen. Stel we hebben een natuurlijk getal n, zijn opvolger is dan n+1. Het verschil van de kwadraten kunnen we met bovenstaande formule als volgt herschrijven:

(n+1)² - n² = (n+1-n)(n+1+n) = 2n+1

Je had dit ook kunnen bekomen door (n+1)² gewoon uit te werken tot n²+2n+1. 

We vinden dus 2n+1, maar dat is ook te schrijven als n + (n+1), precies de som van de twee grondtallen waar we van vertrokken! 
Omdat we in het begin niets gezegd hebben over hoeveel n is, is dit geldig voor elk natuurlijk getal n. Je vermoeden klopt dus in het algemeen, zoals bijvoorbeeld met n = 423:

423² - 422² = 423 + 422 = 845.

Hopelijk is je vraag hiermee beantwoord, anders reageer je maar.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw