Wat is een hyperkubus?

xavier-sigi, 14 jaar
3 november 2009

Ik heb ooit eens gehoord dat een hyperkubus een figuur is die niet in een 3-dimensionale wereld gevormd kan worden. Hoe kan dit?
PS graag ook een tekening van een hyperkubus

Antwoord

Kijk eerst eens links op de bijgaande figuur. Dat is een vierkant, en de vier hoeken hebben coordinaten. Dat zijn getallen die zeggen waar het punt ligt, net zoals je op aarde met wester- of oosterlengte, en noorder of zuiderbreedte kunt bepalen waar je je bevindt.

De vier hoekpunten van het vierkant liggen op  ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) en ( 1 , 1 )

Kijk nu rechts, dat is een kubus. Die heeft acht hoekpunten, waarvan de coordinaten nu uit drie getallen bestaan omdat een kubus een 3-dimensionale figuur is :

(0,0,0) , (1,0,0), (0,1,0) , (1,1,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (0,1,1) en (1,1,1)

de eerst vier vormen het grondvlak onderaan, de laatste vier het bovenvlak.
Elk zijvlak is een vierkant

Nu kan je je wiskundig inbeelden dat je in een vierdimensionale ruimte ook zo'n soort figuur maakt. Dan zullen de coordinaten 4 getallen bevatten omdat er naast de X, Y en Z as nog een 4de as bijkomt. NetZo'n figuur is een 4-dimensionale hyperkubus. Hij heeft 16 hoekpunten :
(1,0,0,0) , ( 0,1,0,0) , (0,0,1,0) , ....  (1,1,1,1)
Zon 4-dimensionale hypercubus wordt een "tesseract" genoemd, en heeft 32 ribben, 24 zijvlakken (die vierkanten zijn) en 8-zijkubussen.

En ook in vijf of nog meer dimensies kan je wiskundig zo'n figuur definiëren en bestuderen. Het aantal hoekpunten bedraagt dan  "twee tot de n-de" waar n het aantal dimensies is. Dus in een 10-dimensionale hyperkubus zijn er 1024 hoekpunten.

Een hyperkubus is dus een veralgemening van een kubus, in een hogere dimensie, net zoals een "gewone" kubus een veralgemening is van een vierkant door van 2 naar 3 dimensies te gaan.

Je vraagt om een tekening: welnu een perfecte tekening kan je niet geven omdat we ons zo al geen 4-dimensionele vormen kunnen inbeelden, en ze al zeker niet op een stuk papier (dat maar twee dimensies heeft) kunnen afbeelden. Er is op dat stuk papier letterlijk geen ruimte genoeg.

Van een tesseract bestaan er wel voorstellingen die een min of meer goede ondruk geven, zoals je er vindt op de 2de tekening bij dit antwoord : tel maar eens : 16 hoekpunten, 32 ribben (verbindingen tussen hoekpunten), 24 vierkanten (OK, op de tekening zien ze niet uit als een vierkant, maar een 100 procent juiste tekening is nu eenmaal niet mogelijk), en 8 zij-kubussen. (waarvan er zes niet als een kubus uitzien, en twee wel).

Kijk ook nog eens op : http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen