Wat is het verschil tussen een verdelingsfunctie, een kansfunctie en een dichtheidsfunctie?

Jan, 23 jaar
13 augustus 2009

Antwoord

Beste Jan,

veronderstel een toevalsveranderlijke X die negatieve en positieve waarden kan aannemen. Dan kan X altijd worden gekenmerkt door zijn verdelingsfunctie (ook wel cumulatieve distributiefunctie genoemd):
FX(x)=Prob[X≤x], dus de kans dat de toevalsveranderlijke kleiner is dan x, met -∞<x<+∞.

Er zijn nu echter twee speciale types van toevalsveranderlijken, nl. puur discrete en continue toevalsveranderlijken. Ruw gesproken kan een discrete toevalsveranderlijke enkel een aftelbaar aantal waarden aannemen (waarden die je allemaal mooi kan specifiëren of tellen, zoals b.v. de gehele getallen). Continue veranderlijken daarentegen kunnen een 'continuum' aan waarden aannemen, zoals b.v. alle reële getallen of een interval in de reële getallen. Als je de verdelingsfunctie van hierboven zou uitzetten in een grafiek, zou je mooi het verschil zien: bij een continue toevalsveranderlijke is dit een mooie continue curve, terwijl dit voor een discrete toevalsveranderlijke een trapjesfunctie is (FX(x) stijgt enkel op discrete punten). Wegens het verschil tussen deze twee speciale types kunnen ze ook op een afzonderlijke manier worden gekenmerkt, nl. discrete  toevalsveranderlijken door de kansfunctie en continue toevalsveranderlijken door de dichtheidsfunctie. Deze zijn voor ons soms intuïtiever dan de meer algemene karakterisering van de verdelingsfunctie. We gaan op beide wat dieper in.

Discrete toevalsveranderlijken hebben dus een aftelbaar aantal mogelijke waarden. Laat ons om de gedachten te vestigen de gehele getallen nemen. Dan kan je de toevalsveranderlijke heel gemakkelijk kenmerken door de kansfunctie (ook wel massafunctie genaamd), gegeven door
pX(n)=Prob[X=n], dus de kans dat X gelijk is aan n, voor alle n geheel.
Inderdaad, enkel de gehele waarde kunnen optreden met een niet-nul kans, dus kenmerkt de kansfunctie de toevalsveranderlijke evengoed als de verdelingsfunctie.

Voor continue toevalsveranderlijken kan je dit niet doen, aangezien de kans dat een zekere waarde optreedt nul is (er is een continuüm aan mogelijkheden, dus de kans dat dat ene getal optreedt is nihil). Wat je wel kan doen om de continue toevalsveranderlijke te kenmerken in een getal x is uit te drukken wat de kans is dat de veranderlijke ligt in een klein interval met x als startpunt. Dit is wat de dichtheidsfunctie (ook wel densiteit genaamd) uitdrukt:
fX(x)=Prob[x<X≤x+dx]/dx, met dx infinitesimaal klein. Dit drukt dus de kans uit dat X ligt in een infinitesimaal klein interval startend vanaf x, en dit relatief t.o.v. de lengte van het infinitesimaal klein interval. Het blijkt dat fX(x) niets anders is dan de afgeleide van FX(x) in x.

Samengevat: elke toevalsveranderlijke kan gekenmerkt worden door zijn verdelingsfunctie, maar voor strikt continue en discrete toevalsveranderlijken zijn er alternatieve karakteriseringen, nl. resp. de kansfunctie en de dichtheidsfunctie. 

Beste groeten,
Joris Walraevens

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen