Hoeveel moet ik maandelijks sparen aan 5% om na 35 jaar 250.000 Euro te hebben?

Theo, 75 jaar
22 juli 2009

Hoeveel moet maandelijks sparen tegen een interest van 5% om naar 35 jaar 250.000 Euro op mijn rekening te hebben? Graag de volledige uitwerking.
Dank bij voorbaat.

Antwoord

Beste Theo,

Ik zal eerst en vooral je vraag herformuleren om het probleem ondubbelzinnig te maken:

Hoeveel moet ik maandelijks sparen tegen een jaarlijkse interestvoet van 5% om na 35 jaar 250.000 Euro op mijn rekening te hebben?

Doorgaans berekenen banken de interest die ze uitkeren niet pas nadat een kapitaal een jaar op de rekening heeft gestaan, maar voor een kortere periode, bijvoorbeeld een maand. Dit betekent dat we, om je vraag op te lossen, eerst de maandelijkse interestvoet moeten bepalen die overeenkomt met 5% op jaarbasis. Dit doen we als volgt. Veronderstel dat je bij het begin van het jaar een kapitaal K op je rekening hebt staan en de bank heeft een maandelijkse interestvoet 100a%, dan zal na een maand je kapitaal gegroeid zijn tot K(1+a). Na twee maand tot K(1+a)(1+a), wat gelijk is aan K(1+a)^2. En dus na 12 maanden tot K(1+a)^12. Je weet echter dat na een jaar je kapitaal is aangegroeid met 5% = 100(0,05)%, dus moet er gelden dat K(1+0,05) = K(1+a)^12. We kunnen K wegdelen, dus moet (1+0,05) = (1+a)^12. We kunnen de 12de macht naar het linkerlid brengen door ze te schrijven als een 12de machtswortel: (1+0,05)^(1/12) = (1+a). We vinden dus dat de maandinterestvoet a die overeenkomt met een jaarlijkse voet van 5% gelijk is aan (1+0,05)^(1/12)-1, oftewel ongeveer 0,00407412378. Afgerond geeft dit a = 0,4074%, een getal waar we mee zullen verder rekenen.

Dus je vraag wordt nu: (35 jaar komt overeen met 420 maanden)

Hoeveel moet ik maandelijks sparen tegen een maandelijkse interestvoet van 0,4074% om na 420 maanden 250.000 Euro op mijn rekening te hebben?

Laat ons het gezochte maandelijks te sparen bedrag S noemen en het kapitaal verzameld na n maanden Kn. We weten dat de bank voor een kapitaal dat bij het begin van de maand op de rekening staat op het einde van die maand Kn(1+a) zal teruggeven. Maar je bent van plan elke maand een bedrag S te sparen (ik veronderstel dat je dit aan het begin van die maand doet, het maakt op lange termijn niet zoveel uit als je het op het einde van de maand zou doen), dus zal je voor dat gespaarde bedrag op het einde van de maand S(1+a) terugkrijgen. Je totale gespaarde kapitaal bij het einde van de maand is dan

Kn+1 = (Kn+S)(1+a). [dit is een heel belangrijke formule, ik zal ze de aangroeiformule noemen]

Nog een maand later wordt dit Kn+2 = (Kn+1+S)(1+a) = (Kn+S)(1+a)(1+a)+S(1+a).

We beginnen nu bij het begin: je beginkapitaal K0 is 0 en je eerste spaarbedrag S, dus je kapitaal op het einde van de eerste maand is K1=S(1+a) door gebruik te maken van de aangroeiformule. Door de aangroeiformule herhaaldelijk toe te passen vinden we dan

K2 = S(1+a)(1+a)+S(1+a) = S(1+a)^2+S(1+a) = S( (1+a)^2+(1+a) )
K3 = S( (1+a)^3+(1+a)^2+(1+a) )
...
K420 = S( (1+a)^420+(1+a)^419+...+(1+a)^3+(1+a)^2+(1+a) )

Nu is het zo dat jij hebt vooropgesteld dat K420 = 250.000, dus dan kunnen we het maandelijkse spaarbedrag vinden door de volgende uitdrukking uit te rekenen:

S = 250.000/( (1+a)^420+(1+a)^419+...+(1+a)^3+(1+a)^2+(1+a) )

De noemer van deze breuk ga je niet term per term berekenen en optellen. Het is een zogenaamde partiële meetkundige reeks, iets waarvoor er eenvoudiger formules bestaan, deze laten ons toe de reeks te herschrijven:

(1+a)^420+(1+a)^419+...+(1+a)^3+(1+a)^2+(1+a) = ( (1+a)-(1+a)^421 )/ (1-(1+a) )

Vervangen we in het rechterlid a door 0,4074% = 0,004074, dan vinden we als waarde van de partiële meetkundige reeks ongeveer 1.113, dus

S = 250.000/1.113 = 224,62.

Met andere woorden, om na 35 jaar aan 250.000 euro te geraken als je het kan beleggen tegen 5% op jaarbasis, moet je maandelijks ongeveer 225 euro sparen. Om dit kapitaal te bekomen, heb je zelf 225*35*12 = 94.500 euro moeten sparen. Dit grote verschil is te wijten aan het feit dat je vele jaren lang interest krijgt op je spaargeld en op de tot dan toe verzamelde interest op je spaargeld.

Enkele opmerkingen: Je moet je wel realiseren dat inflatie op gelijkaardige manier werkt, dus als de inflatie lange tijd groter is dan je interestvoet zal je geld sterk in waarde (koopkracht) dalen. Verder liggen dezelfde principes die hier gebruikt werden aan de basis van de berekeningen voor het maandelijks af te betalen bedrag voor een lening.

Ik hoop hiermee je vraag beantwoord te hebben!

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen