oppervlakte van een omwentelingslichaam

Glenn, 20 jaar
16 juni 2009

De oppervlakte van een owentellinslichaam wordt gegeven met volgende formule: int(2*Pi*R*dS) tussen bepaalde grenzen, met
R = de straal (bij rotatierond de x-as is deze dan f(x))
dS = de lengte van het koordje
ik begrijp niet waarom de formule met dS moet zijn, en niet met dx. want zoals bij bijvoorbeeld het volume van het omwentelingslichaam maken we de verdeling infinitesimaal klein zodat een volume dV gelijk wordt aan Pi*R²*dx. Dus zou ik bij de oppervlakte ook zeggen dat we de verdeling zo klein maken zodat we infinitesimale cilindertjes krijgen met oppvervlakte dA = 2*Pi*R*dx.

veel dank.

Antwoord

Bij een omwentelingsinhoud gaan we het totaal volume inderdaad berekenen als een oneindige som van oneindig dunne cylindertjes, zoals je terecht opmerkt.

En wat doen we bij een omwentelingsoppervlak ?
Daar gaan we het oppervlak benaderen door een oneindige som van oneindig smalle strookjes, riempjes als het ware, die we naast elkaar rond het oppervlak leggen. Je ziet zo één riempje op bijgaande figuur in het groen.
Wat is de oppervlakte van die groene riem ? Dat is zijn lengte 2π y(x)  vermenigvuldigd met zijn breedte, en die is ds, niet dx. Op de figuur zie je  ds  in het rood, en dx in het blauw. Moest je dx nemen dat zou je geen rekening houden met het feit dat de linkerkant en de rechterkant van de riem een ongelijke straal hebben. Je zou dan geen rekening houden met het feit dat de functie daar stijgt.
De grootheid  ds  doet dat wel en houdt ook rekening met de verandering in de y-richting. Als de functie sterk stijgt zal ds veel beduidend groter zijn dan dx. Je ziet ook dat ds en dx enkel aan elkaar gelijk zijn indien de functie op die plaats constant zou zijn, maar anders is ds steeds groter dan dx.

In limiet naar nul gaan... toch even opletten :

Je moet opletten met grootheden die in limiet naar nul gaan. Het is niet omdat twee grootheden naar nul gaan dat je ze door elkaar moogt vervangen TERWIJL ze nog naar nul aan het gaan zijn. Neem gewoon eens de grootheden  dx  en 2.dx, en kijk naar de limiet dx naar nul.

Beide grootheden gaan naar nul, akkoord. Maar terwijl je de limiet neemt, is 2.dx steeds het dubbel van dx, en dus zal dat ook in limiet zo zijn. Een limiet naar nul nemen betekent immers niet dat je tot in nul zelf gaat, het betekent dat je er oneindig dicht bij komt zonder er echt in te komen.

Je kan dat ook zien als je de limiet van de verhouding  2.dx gedeeld door dx neemt, voor dx gaande naar nul. Als je botweg dx door nul invult in de limiet, krijg je 0/0, en dat is onbepaald.
Als je de limiet correct uitrekent vind je als resultaat natuurlijk 2. Je hebt dus twee dingen die afzonderlijk naar nul gaan, maar ook in limiet is de ene het dubbel van de andere.
 
Om dezelfde reden mag je in de omwentelingsoppervlakte  ds  ook niet vervangen door  dx. Zolang ze "nog naar nul aan het gaan zijn" zal ds groter zijn dan dx van zodra de functie niet constant loopt.
Immers :   ds =  wortel ( 1 + y'2 ) . dx

Van zodra de afgeleide  y'  niet nul is, is 1 + y'2  groter dan nul, en zijn wortel ook.
Als je ds door dx zou vervangen zou uw oppervlakte dus systematisch te klein berekend worden.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen