Als je een getal bij een oneindig groot getal optelt wordt het getal dan ook daadwerkelijk groter, of blijft het gewoon

André, 17 jaar
3 juni 2009

ik vroeg me het volgende af

als je het volgende probleem hebt: oneindig + 5
is het antwoord dan nog steeds gewoon oneindig, of komt er iets anders uit. Ik kan het me namelijk moeilijk voorstellen dat oneindig, als grootste getal, nog groter zou kunnen worden.

Antwoord

Stel dat je een zak vol rode knikkers hebt, en een zak vol blauwe, en je wil weten of er in beide zakken evenveel knikkers zitten zonder ze te moeten tellen. Hoe doe je dat ?
Heel eenvoudig, neem steeds gelijktijdig uit elke zak één knikker. Als ze beide op hetzelfde moment leeg zijn, heb je van elke kleur evenveel !
In feite heb je op die manier een één-éénrelatie gelegd tussen de twee verzamelingen. Elke rode knikker heeft een unieke blauwe vriend (namelijk degene die gelijktijdig uit de blauwe zak gekomen is), en omgekeerd heeft elke blauwe een unieke rode companion.

=> twee verzamelingen hebben eenzelfde aantal elementen als je een één-éénrelatie, of om het met het correcte wiskundige woord te zeggen, een bijectie kan vinden.

We tonen nu aan dat oneindig = oneindig + 5

We nemen twee verzamelingen :

a)  N = de verzameling van de natuurlijke getallen. Die heeft een oneindig aantal elementen.

b) de verzameling  K = { -5 , -4 , -3, -2 , -1 }  Deze heeft dus 5 elementen.

Laat ons vervolgens de unie van N en K de naam P geven,  dus  P = N U K   (unie van N en K)
Deze unie zou dus (wegens het feit dat de doorsnede van N en K leeg is), "vijf elementen meer dan oneindig" hebben, dus "oneindig + 5"

Welnu,  oneindig + 5 = oneindig

Waarom ?
Omdat er in P, de unie van de twee verzamelingen, evenveel elementen zitten als in N. Hoe weten we dit ? Wel, we kunnen een eenvoudige bijectie vinden tussen N en P :

Neem een getal  n  in  N, en trek er 5 af, je vindt dan een eenduidig element van P
Elk element van N wordt dus eenduidig afgebeeld op een uniek element van P.
Neem een element p van P, en tel er 5 bij. Je krijgt dan een eenduidig element van N

Elk element van N heeft dus een unieke companion in P, en omgekeerd, net zoals bij die knikkers.

=> Er is dus een bijectie tussen een verzameling met oneindig elementen, en een met oneindig plus 5 elementen. Beide hebben dus evenveel elementen. Dus : oneindig = oneindig + 5

Je mag oneindig niet echt als een getal zoals alle andere beschouwen, omdat het de gewone rekenregels niet volgt : zo is  2*oneindig nog steeds oneindig, is oneindig - 10 nog steeds oneindig, maar is oneindig min oneindig niet noodzakelijk nul, het is onbepaald (zoek eens in het archief van deze website), net zoals oneindig/oneindig om het even wat kan geven alhankelijk van de situatie hoe die deling in een limiet tot stand komt.

Nog leuk als toemaatje :

Een gevolg is dat het aantal elementen in N (natuurlijke getallen) en Z (gehele getallen) gelijk is ! Er is immers gemakkelijk een bijectie tussen beide verzameling te vinden :

Neem een natuurlijk getal n : als het even is, deel het door twee en noem het resultaat z
als het oneven is, tel er één bij, deel door twee en vermenigvuldig met -1, en noem dit dan z.

Vb :   n      0     1     2     3     4     5     6     7     8     ...
         z      0    -1     1    -2     2    -3     3    -4     4     ....

Je ziet bovenaan alle natuurlijke getallen, en daaronder komen alle gehele getallen. Je hebt dus een bijectie, en daardoor kan je zeggen dat er evenveel natuurlijke als gehele getallen zijn. Het aantal natuurlijke, of het aantal gehele getallen is de "kleinste" oneindig, en noemt men Aleph-0.

Je kan ook aantonen dat het aantal rationale getallen (verzameling Q) ook nog even groot is, maar dat het aantal reële getallen echt groter is. De oneindigheid van de reële getallen is van een hogere orde dan de oneindigheid van N, Z en Q. Het aantal reële getallen is dus groter dan Aleph-0.
Ik ga hier verder niet op in, omdat dit ons echt te ver zou leiden, maar als je hierover meer wil weten, surf dan eens op internet met de trefwoorden

   "Georg Cantor"    Aleph    "continuum hypothesis"

Je zal versteld staan hoe wonderbaarlijk het begrip oneindig is. Vooral de vraag hoeveel reële getallen er zijn, heeft een verassend antwoord.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen