In een (welliswaar SF) boek kwam er een pi-meter in het verhaal voor en ik vroeg me af of zoiets in realiteit bestaat. Vooral ook gezien bijvoorbeeld de som van de drie hoeken van een driehoek 180° is: als de ruimte plat is, een 'driehoek' getekend op een bol en dan gemeten wijkt daarvan af. Dus vroeg ik me af of er een bestaande geometrie is waarbij pi niet perse pi is zoals we die normalerwijze kennen en dan terug naar de oorspronkelijke vraag, of dit met een instrument meetbaar zou zijn.
Het getal pi duikt op de meest verschillende plaatsen in de wiskunde en fysica op en men kan het op vele manier definiëren. Louter wiskundig is pi/4 bijvoorbeeld de som van de reeks 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... Zo'n algebraïsche definitie is natuurlijk onafhankelijk van de ruimte waarin wij leven. Het getal pi is zo alomtegenwoordig in de wiskunde dat we het waarschijnlijk ook zouden ontdekt hebben indien we als soort in een bizarre, niet-Euclidische wereld ontstaan zouden zijn.
Het wordt anders wanneer we pi op een meetkundige manier definiëren als (bijvoorbeeld) de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter ervan. In het vlak is die verhouding steeds 3.1415..., maar op het oppervlak van een bol is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter (gemeten op het oppervlak van de bol) strikt groter dan ons conventioneel getal pi. Er bestaan ook oppervlakken (zoals het zadeloppervlak) waarvoor die verhouding strikt kleiner is dan pi.
De mate waarin die verhouding afwijkt van het getal pi is gerelateerd aan wat wiskundigen de kromming van een oppervlak noemen. Ook de mate waarin de som van de hoeken van een driehoek verschilt van pi is hiermee gerelateerd. Op een bol kun je bijvoorbeeld een driehoek tekenen waarvan elk van de hoeken een rechte hoek is: dit komt omdat het oppervlak van de bol een gekromd oppervlak is. Ook het zadeloppervlak is gekromd, maar op een andere manier: de som van de hoeken van een driehoek is steeds kleiner dan pi.
Ook indien je niet zou weten dat het aardoppervlak niet vlak maar gekromd is, zou je dat toch kunnen nagaan door een (voldoende grote) cirkel op het aardoppervlak te tekenen en de omtrek ervan met de diameter te vergelijken. Dit is een algemene eigenschap van het begrip kromming: Gauss bewees in de negentiende eeuw een opmerkelijke stelling die zegt dat je de kromming van een oppervlak volledig kunt vastleggen door afstanden en hoeken te meten op dat oppervlak. Om de kromming van de aarde te meten is het probleem natuurlijk van een voldoende grote cirkel te tekenen: lokaal gezien is de aarde in een goede benadering vlak.
We hoeven ons niet tot oppervlakken te beperken: ook de ruimte zelf kan gekromd zijn. Om dit op de hierboven beschreven manier na te gaan zouden echter metingen op veel te grote schaal nodig zijn. Men gebruikt dus geavanceerdere technieken: zo is er bijvoorbeeld het WMAP-project, waarbij men "luistert" naar microgolven die een overblijfsel zijn van de big bang en op die manier probeert een idee te krijgen over de kromming van het heelal. Binnen de foutmarges van de waarnemingen ziet het ernaar uit dat het heelal vlak is.
Wanneer we nog een stap verder gaan, kunnen we de ruimte en de tijd als een geheel beschouwen en ook deze ruimtetijd kan gekromd zijn: Einstein's relativiteitstheorie zegt dat de kromming van de ruimtetijd bepaald wordt door de hoeveelheid materie die erin aanwezig is. Zwaartekracht is dus een gevolg van de kromming van de ruimte en de tijd, een beetje zoals een zwaar voorwerp op een vervormbaar oppervlak ook het oppervlak vervormt. Dicht bij een zwart gat is die vervorming van de ruimtetijd het meest prominent en daar wordt ons "normaal" meetkundig inzicht het meest op de proef gesteld. Maar ook hier blijft de wiskundige definitie van het getal pi nog steeds gelden!
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
© 2008-2025
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be
