Hoe bereken je de hoek in het bovenste 'knikpunt' van y²=5x²-x³?

Antwoord

Beste Gilles,

De kromme die je geeft ziet er uit als het spiegelbeeld van een Griekse letter alfa. Dat is typisch voor dat soort vergelijking met 'y^2' gelijk aan een derdergraadsveelterm in 'x'.

Het is mij niet meteen duidelijk wat je bedoelt met het "bovenste knikpunt" maar wat ik voor jou kan berekenen is de hoek tussen de twee raaklijnen aan de grafiek in '0'.

Daarvoor beschouwen we enkel het stuk van de grafiek boven de x-as, met als vergelijking y = sqrt(5x^2-x^3), waarbij 'sqrt' staat voor 'vierkantswortel'. Je zal volgend schooljaar waarschijnlijk de methode zien om dit te berekenen. Je doet dit aan de hand van zogenaamde 'afgeleiden'. Dat zijn juist functies die voor gegeven functies juist de richtingscoefficient van de raaklijn aan de grafiek geven. Een makkelijk voorbeeld is de functie y=x^2, een parabool. hiervan is de afgeleide functie gelijk aan 2x. Dit betekent dat de richtingscoefficient van de raaklijn aan die parabool in een punt met abscis x (dus in het punt (x,x^2)) gelijk zal zijn aan 2x. Bijvoorbeeld in het punt (1,1) vinden we 2 als richtingscoefficient van de raaklijn, in (2,4) hebben we dan 4, in (-3,9) vinden we -6 (een sterk dalende raaklijn).

Om afgeleiden te berekenen bestaan er (makkelijke) rekentechnieken. Voor de functie die ons interesseert geven deze rekentechnieken (10x-3x^2) / (2(sqrt(5x^2-x^3)). Als je hierin nul invult, zie je meteen dat deze formule 0/0 geeft en dus niet zal werken om de richtingscoefficient van de raaklijn aan de grafiek te berekenen.