Is pi een onbekende?

Antwoord

Beste Lieze,

Kortste antwoord: Pi is geen onbekende maar een wiskundige constante. Het getal pi is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en haar diameter.

Het getal pi kent een lange geschiedenis. Men weet al ongeveer 4000 jaar lang dat de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel een constante is. Zelfs in een tijd waar er nog geen of erg weinig wiskundige symboliek of taal was. Nu hebben we formules als wiskundetaal die ons toelaten om dit onmiddellijk neer te schrijven. Echter, in de klassieke oudheid was de wiskundetaal nog niet ontworpen waardoor dit veel moeilijker was. Hedendaags schrijven we immers dat de omtrek van een cirkel 2 x pi x r waarbij r de straal van de cirkel is, terwijl de diameter natuurlijk 2 x r is. Hierdoor is het onmiddellijk duidelijk dat pi de verhouding is tussen omtrek en diameter.

Ik geef wat geschiedenis mee want het getal pi is doorheen de afgelopen 4000 jaar ruimschoots bestudeerd geweest. In het oude Babylonië werd pi als 3 beschouwd. Op dat moment was het nog geen "wiskundige constante", men beschouwde dat de omtrek van een cirkel 3 keer de diameter was. Archeologische vondsten tonen dat later in de tijd van de Babyloniërs men wist dat het niet exact 3 was maar groter. Een teruggevonden kleitablet uit de periode (1900-1680 VC) geeft aan dat men pi schatte op 3.125.

In het oude Egypte (1680 v.C.) heeft Ahmes de Rhind-papyrusrol geschreven. Het is een werk dat verschillende wiskundeproblemen uit die tijd met haar oplossingsmethode beschreef. In totaal worden er 84 wiskundeproblemen beschreven met haar oplossingsmethode. Vele problemen gingen over oppervlakten en volumes bijvoorbeeld. Probleem 48 verwijst naar de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkel en de oppervlakte van het omgeschreven vierkant. We weten dat die verhouding nu pi/4 is. De Egyptenaren schatten die verhouding als 64/81, bijgevolg stelde men dat pi gelijk is aan 256/81.

Toen de Griekse cultuur de dominante cultuur werd, werd de eerste "formele wiskunde" ingevoerd. De Grieken hebben de eerste bewijsvoeringen bedacht en het wiskundig redeneren vormgegeven. Archimedes van Syracuse ondernam een poging om pi beter te beschrijven door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras. Hij was de eerste die toonde dat (3+10/71) < pi < (3+1/7). Als je dit uitrekent, bekomen je de grenzen 3.141 < pi < 3.143, zodat Archimedes de eerste in de geschiedenis was die twee decimale cijfers correct heeft bepaald van het getal pi.

Een echt algoritme om pi steeds preciezer te beschrijven werd voor het eerst aangeboden door Lui Hui (jaar 220-280) die het wiskundeboek van Jiu Zhang Suan Shu bestudeerde. In dat boek stond de stelling van Pythagoras beschreven alsook de aanpak van Archimedes om pi te bepalen tot twee decimalen nauwkeurig. Lui Hui kwam tot de volgende benadering van 3.14159 waar hij aantoonde dat deze cijfers correct zijn.

Hoewel de Grieken (Hippasus van Metapontum) de irrationale getallen hebben ontdekt waarbij ze toonden dat de vierkantswortel uit 2 irrationaal is, hebben de Grieken dit niet getoond voor pi. We moeten wachten tot Johann Lambert in 1761. Het symbool om de Griekse letter pi te gebruiken, komt van William Jones in 1706. William Jones was een vriend van Isaac Newton en kon zo via de Royal Society het symbool verspreiden. Toen Leonhard Euler het symbool gebruikte in 1736 voor zijn werk rond mechanica is het symbool helemaal doorgebroken in de wetenschappelijke wereld.

In 1882 kwam een nieuwe eigenschap aan het licht voor het getal pi. Ferdinand von Lindemann toonde aan dat pi een transcendentaal getal is. Dit betekent dat pi geen "algebraïsch" getal is. Een algebraïsch getal is een getal die een nulwaarde is voor een veelterm met rationale coëfficiënten. 

Met de komst van de computers, hebben we in sneltempo erg veel cijfers van pi kunnen berekenen. Het huidige record, bereikt op 2 april 2025, staat op naam van de Linus Media Group en ook Kioxia. Het duurde 226 dagen om de 300 000 000 000 000 decimalen van pi te berekenen. Dit resultaat is opgeslagen in digitaal formaat wat maar liefst 8.8 Tb in beslag neemt. Voor de liefhebbers die toch graag een boek hebben: er is een boek dat bijvoorbeeld alleen bestaat uit de eerste 10 miljoen decimale cijfers van pi bij Bol.com te koop.

Met mijn verhaal, heb je natuurlijk het gevoel dat we pi eigenlijk helemaal kennen, maar er is nog steeds een onopgeloste vraag:

Is het getal pi een normaal getal?

Deze vraag is tot vandaag nog steeds onopgelost. Een irrationaal getal is normaal wanneer haar decimale cijfers met dezelfde waarschijnlijkheid voorkomen. Met andere woorden: Om een normaal getal te zijn, moeten alle getallen 0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9 even vaak voorkomen als decimaal. Dit vraagstuk is nog steeds onopgelost voor pi. Er zijn wiskundigen die vermoeden dat pi een normaal getal moet zijn, maar er zijn ook wiskundigen die van het tegendeel overtuigd zijn. Die laatste groep stelt bijvoorbeeld dat het getal 0 pas op de 32ste plaats voor het eerst voorkomt: 3.14159265358979323846264338327950....

Wie weet welke geheimen het getal pi nog in petto heeft...

Groeten,

Kurt Barbé