Wat is het nut van complexe getallen in het dagelijkse leven?

Antwoord

Dit is een zeer interessante vraag! Eerst een kort stukje geschiedenis. Het idee om de reële getallen uit te breiden ontstond in Italië in de zestiende eeuw. De formules om derdegraadsvergelijkingen op te lossen, leidden in sommige gevallen tot de noodzaak om met vierkantswortels uit negatieve getallen te rekenen. Zoiets is niet mogelijk in de reële getallen, aangezien het kwadraat van een reëel getal altijd positief is. De toevoeging van de imaginaire eenheid 'i' aan de reële getallen, samen met de nodige rekenregels, geeft ons het veld der complexe getallen. Het werk van de zestiende-eeuwse Italiaanse wiskundigen werd in de decennia (en eeuwen) nadien verder gezet. Het toevoegen van een imaginair element dat de oplossing is van een vergelijking over het veld der reële getallen, werd overigens sterk veralgemeend en is heden ten dage een onderdeel van de moderne algebra. De theorie van de velduitbreidingen is verder nauw verwant aan de zogenaamde Galoistheorie, die ontstond in de negentiende eeuw in het werk van Evariste Galois. Behalve de theorie van de velduitbreidingen, ligt het het werk van Galois ook aan de basis van de zogenaamde groepentheorie, een prachtig stukje (abstracte) wiskunde dat ons in staat stelt om op structurele wijze symmetrieën te bestuderen. Dat is behalve voor de wiskunde zelf, ook van groot belang in bijvoorbeeld de fysica. De complexe getallen als topic hebben dus op korte tijd alleen al in de algebra geleid tot fundamentele vooruitgang. Maar daar houdt het niet op!

Maar eerst wat meer over de complexe getallen zelf. We construeren de complexe getallen door een imaginaire eenheid i toe te voegen aan de reële getallen. Deze beschrijving is de korte samenvatting van een strikt formeel wiskundig proces. Kort samengevat beschouwt men de vectorruimte van alle veeltermen over de reële getallen. Deze kan men optellen en vermenigvuldigen, we krijgen dan een ring van veeltermen. Het veld der complexe getallen wordt dan gedefinieerd als het restklassenveld van deze veeltermring modulo de veelterm x^2+1. Hierin herkent men dat i^2=-1, dit is immers equivalent met i^2+1 = 0, of nog, de imaginaire eenheid is een oplossing van de veeltermvergelijking x^2+1 = 0. Wiskundig gezien volgt dat elk complex getal een lineaire combinatie is van het reële getal 1 en de imaginaire eenheid i. Anders gezegd, als z een complex getal is, dan bestaan er twee unieke reële getallen a en b, zodat z = a+bi. Dat we doorgaans eerst het reële gedeelte schrijven en dan pas het imaginaire gedeelte, is niets meer dan een keuze. We kunnen net zo goed schrijven z = bi+a of z= ib + a. De notatie z = a+bi wordt ook wel de cartesische notatie genoemd. Men kan immers met het complex getal a+bi het koppel (a,b) associëren (en vice versa). Het koppel (a,b) stelt een punt voor in het Euclidisch vlak met coördinaten (a,b). De cartesische notatie voor complexe getallen is uiterst geschikt om complexe getallen bij elkaar op te tellen. Immers a+bi + c+di = (a+c) + (b+d)i. De vermenigvuldiging is iets lastiger, we krijgen (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i. De exponentiële notatie berust ook op een beetje elementaire meetkunde. Een complex getal a+bi heeft dus cartesische coördinaten (a,b). Het zelfde punt in het vlak kan je echter ook poolcoördinaten (r,theta) geven. Hier stelt het positieve getal r de afstand van het punt tot de oorspong voor, de hoek theta de hoek gemeten vanaf de x-as tot het punt. Het complex getal is dan z=r e^(i theta). Het getal e is wel degelijk de basis van de natuurlijke logaritme, de notatie e^(i theta) staat voor de (complexe) exponentiële functie. De exponentiële notiate is uiterst geschikt om complexe getallen met elkaar te vermenigvuldigen. Gegeven een complex getal z = r e^(i theta), dan levert de formule van Euler, namelijk e^(i x) = cos (x) + i sin (x) ons vlot de cartesische notatie, namelijk z = r cos (theta) + i r sin (theta). De formule van Euler brengt ons op natuurlijke wijze bij de complexe analyse, de studie van functies in één (of meerdere) veranderlijke(n) over de complexe getallen, één der fundamentele domeinen in de wiskunde. Klassiekers in dit domein zijn bijvoorbeeld Fourier- en Laplacetransformaties. Beide zijn van fundamenteel belang voor toepassingen in de ingenieurswetenschappen, onder andere voor analyse van signalen en het oplossen van sommige differentiaalvergelijkingen.

Dit brengt ons bij allerlei toepassingen van complexe getallen, anders gezegd, de rol van complexe getallen in het dagelijks leven. Wiskunde is een domein dat aan de basis ligt van vele wetenschappelijke toepassingen. Toch is wiskunde vaak diep verborgen. We gebruiken dagelijks toepassingen van wiskunde zonder het zelf te beseffen. Dat is voor de complexe getallen niet anders. Een toepassing van complexe getallen die mogelijks minder diep verborgen zit, is het gebruik ervan in de elektriciteitsleer. Wisselspanning is namelijk een golfverschijnsel, en met behulp van complexe getallen kan men spanning en stroomsterkte als functies van de tijd in één complexe functie verpakken. Het abstracte wiskundige concept, namelijk de complexe getallen en functies over de complexe getallen, maakt het redeneren met het concrete fysische concept in dit geval een stuk gemakkelijker. Het aantal toepassingen van complexe getallen in de fysica is zeer uitgebreid. Complexe getallen en complexe analyse zijn quasi onontbeerlijk in de studie van elektromagnetisme. De kwantumfysica vereist zogenaamde Hilbertruimten, dat zijn vectorruimten over de complexe getallen. Op zijn beurt is de kwantumfysica van essentieel belang in de kwantumchemie, één der moderne takken in de scheikunde. Zo zien we dat complexe getallen in verschillende takken van de wetenschappen een fundamentele rol spelen, zonder dat dat altijd zichtbaar is voor de eindgebruiker. Tenslotte zijn complexe getallen ook van fundamenteel belang in de wiskunde zelf en zorgen voor een basis voor verdere ontwikkelingen.