Waarom legt een plank die je vooruitduwt over een rol tweemaal de afstand af die de rol aflegt?

Antwoord

Beste Geert,

Je vraag deed me meteen denken aan een vraagje uit de Vlaamse Wiskunde Olympiade 2004. Toen werd er gevraagd naar de horizontale afstand die een (reusachtige) steen aflegt, die getrokken wordt door Egyptische slaven, en die rolt over houten boomstammen, indien zo'n boomstam een volledige omwenteling heeft gemaakt.
 

Veronderstel dat zulk een boomstam straal R heeft, dan is de omtrek van de boomstam 2πR. De omtrek komt overeen met de afstand die de boomstam aflegt na 1 omwenteling. De boomstam legt dus 2πR af na 1 omwenteling. Omdat de grote steen over de boomstammen rolt, legt hij ook een horizontale afstand af ten opzichte van de boomstammen (in tegenstelling tot bijvoorbeeld een auto en zijn wielen). Als de boomstammen 1 omwenteling hebben gemaakt, dan heeft de steen zich verplaatst ten opzichte van de boomstammen over een afstand die overeenkomt met de omtrek van de boomstammen. Dus ook over een afstand van 2πR. Je kan dit eventueel bekijken alsof de boomstammen over de steen rolt in plaats van de steen over de boomstammen. Het resultaat is hetzelfde. Omdat zowel de steen ten opzichte van de boomstammen als de boomstammen ten opzichte van de grond een afstand van 2πR aflegt, verplaatst de steen zich met een afstand van 4πR.
Om die reden moeten de Egyptenaren de boomstammen achteraan oprapen en vooraan er terug voor leggen.

Hetzelfde gebeurt met jouw rol en jouw plank. Als de rol een afstand aflegt ten opzichte van de grond legt de plank dezelfde afstand af ten opzichte van de rol en dus tweemaal zoveel afstand als de rol.