Er is een (handicap)formule zodat een haas in een hardloopwedstrijd nooit kan winnen van een schildpad. Hoe luidt deze formule?

Antwoord

Beste Claudi,

Je vraag verwijst naar de paradox van Zeno. Het is niet een formule maar een gedachte-experiment geformuleerd in het oude Griekenland. Het is echter als paradox bedoeld met de boodschap dat de Griekse wiskunde onvolledig was, wat aanleiding gaf tot deze paradox.

Het gaat om het volgende gedachte-experiment, maar je hebt vele varianten hierop:

In een loopwedstrijd heb je een haas en een schildpad. Beide moeten 400 meter lopen. De schildpad krijgt een voorsprong van 200 meter, maar deze loopt ook trager dan de haas. Stel dat de haas vier keer sneller loopt dan de schildpad. De haas vertrekt pas als de schildpad de voorsprong heeft bereikt. Echter wanneer de haas aan het 200 meter punt is gekomen, heeft de schildpad opnieuw de tijd gehad om verder te lopen namelijk 50 meter verder. Om de schildpad in te halen, moet de haas die 50 meter overbruggen. Echter aan dat punt, heeft de schildpad opnieuw 12.5 meter kunnen lopen. Die redenering suggereert dat het onmogelijk is voor de haas om de schildpad in te halen.

Die paradox verwees toen al naar de infinitesimaalanalyse of de calculus. Het duurde tot de 17de eeuw met mensen zoals Leibnitz en Newton om de paradox op te lossen via het limietbegrip. In zekere zin gaat de paradox nog verder over de discretisatie van tijd. Dat is op zich eigenlijk nog een bijkomende vraagstelling die in de paradox verdoken zit. 

Kan je een continu tijdsproces exact beschrijven als een discrete tijdsproces? Laat ik de vraag even verduidelijken. Wanneer je beweegt volgens een pad dan gebeurt die beweging op een continue manier. In de paradox van Zeno neem je afstand van die continuïteit en ga je eigenlijk gaan kijken op specifieke discrete momenten langs dat pad. In de paradox van Zeno krijg je alleen informatie over de afgelegde weg op die momenten die overeenkomen met de helft van de nog af te leggen weg. Er wordt geen informatie bekomen over wat tussenin gebeurt. De vraagstelling houdt onder welke voorwaarden je geen informatie verliest wanneer je op discrete tijdsmomenten een meting uitvoert versus continue observaties.

Om een antwoord te krijgen op die vraag, moest men nog veel langer wachten tot zelfs de 20ste eeuw. Dit is pas helemaal formeel uitgeklaard met de opkomst van de signaalanalyse en de statistiek met Claude Shannon in de jaren 50. Het Shannon-Nyquist theorema beschrijft hoe snel je de tijd moet bemonsteren opdat het continue tijdsproces terug gevonden kan worden.

Het theorema van Shannon-Nyquist opende een vakdomein op zich binnen de toegepaste wiskunde wat vandaag de informatietheorie heet. Die informatietheorie laat toe om digitale communicatie en digitale televisie te ontwerpen. De maatschappij is meer en meer afgestapt van analoge systemen die continue tijdssystemen zijn naar digitale technologieën die in discrete tijd werken.

Zoals vaak in de wiskunde zijn oeroude hypothetische problemen veel later relevant en openen deze de deur voor moderne toepassingen en technologieën. 

Groeten,

Kurt.