Kunnen drie collineaire punten op een cirkel met een oneindige straal liggen?

Antwoord

Het inzicht dat je hebt is zeker heel natuurlijk, en wiskundigen voor jou hebben zich al lang geleden afgevraagd hoe je dit formeel kan maken. Immers, in de gewone "affiene" vlakke meetkunde, waar elk punt twee coordinaten heeft (x,y), bestaat er helemaal geen cirkel met oneindige straal. 

Er zijn minstens twee manieren om jouw inzicht exacter te formuleren. Ten eerste kan je met limieten werken en inderdaad uitrekenen dat in de limiet de afstand van punt C (dat, neem ik aan, tussen punten A en B ligt in jouw scenario) tot de rechte lijn tussen A en B naar nul zal gaan. Ten tweede kan je de "cirkel op oneindig" gewoon toevoegen aan het vlak. Dan gaan we over van affiene meetkunde naar projectieve meetkunde. Boven het vlak, dus in een derde dimensie, plaatsen we een punt P, en we beschouwen alle rechten door dat punt. Elke recht snijdt het vlak in precies 1 punt. We identificeren de rechten door P met die snijpunten; we noemen de rechten "projectieve punten", en met die snijpunten krijgen we al zeker alle gewone affiene punten. Echter, de rechten door P die parallel lopen met het vlak snijden niet met het vlak en leveren allemaal extra projectieve punten op die als het waren "op oneindig" liggen. Grappig genoeg is de vergelijking die de projectieve punten op oneindig voorstelt, een eerstegraadsvergelijking, dus de cirkel op oneindig is eigenlijk een rechte op oneindig. Projectieve meetkunde is een handig middel om heel wat berekeningen serieus te vereenvoudigen. Dus: zoek maar eens op: limieten enerzijds, en projectieve meetkunde anderzijds! Veel plezier nog.