De kans om minstens een keer zes ogen te gooien in n worpen is 1-(5/6)^n, maar is 1/6 als je niet weet dat vooraf al n-1 keer gegooid is. Hoe kan dit, aangezien het toch om dezelfde worp gaat?

Walter, 66 jaar
3 februari 2024

De kans dat iemand bij het werpen van een dobbelsteen minstens een keer zes ogen gooit in n worpen is 1 - (5/6)^n. Voor iemand die komt kijken en niet weet dat er voorafgaandelijk al (n-1) keer geworpen is, is de volgende worp niet de nde, maar de eerste worp en de kans op het gooien van een zes is dus 1/6 en niet 1 - (5/6)^n. Nochtans gaat het over dezelfde worp. Hoe kan dat?

Antwoord

Het is inderdaad dezelfde worp maar je bekijkt hem op twee verschillende manieren: eerst als onderdeel van een langere reeks, daarna op zichzelf staand. De twee kansen zijn ook kansen op twee verschillende gebeurtenissen: de eerste gebeurtenis is "minstens een keer een zes gooien bij n worpen", de tweede is "een zes gooien bij één worp". Merk trouwens op dat voor n = 1 beide gebeurtenissen gelijk zijn, en ook dezelfde kans hebben want 1 - (5/6)^1 = 1-5/6 = 1/6

Reacties op dit antwoord

  • 07/02/2024 - Walter (vraagsteller)

    Dankuwel voor het antwoord professor. Het gedachtenexperiment blijft voor mij toch nog steeds bevreemdend en paradoxaal. Hoe langer het duurt vooraleer een zes wordt gegooid, hoe groter de kans dat bij de volgende worp dit wél lukt. Het intuïtieve aanvoelen wordt door de formule bevestigd, dus OK. Maar als er iemand bijkomt die de voorgeschiedenis niet kent wordt de kans dat bij de volgende worp een zes wordt gegooid (voor die persoon) 1/6. Deze laatste heeft dus minder kans dat de werper een zes gooit, dan de werper zelf die al n-1 keer geworpen heeft? Nochtans gaat het om identiek dezelfde worp. Zou het kunnen dat de 1/6 die steeds in eerste instantie als kans wordt vernoemd beter door de algemenere formule 1 - (5/6)^n wordt vervangen? Voor het werpen van de teerlingen wordt de reële kans op het werpen van een zes immers ENKEL correct gegeven door de algemenere formule. Een analoge redenering geldt trouwens voor het spelen van de Lotto. Ik denk dat er weinigen zijn die de winnende cijfers de week daarna opnieuw zullen spelen. Voor degene die geen weet heeft van de uitkomst van de laatste trekking blijft de kans dat de zelfde cijfers opnieuw uitkomen evenwel even groot?

  • 07/02/2024 -  (wetenschapper)

    U zegt: "Hoe langer het duurt vooraleer een zes wordt gegooid, hoe groter de kans dat bij de volgende worp dit wél lukt." Dat is niet correct. De kans op een zes is altijd 1/6 ongeacht wat er daarvoor gebeurd is. Een teerling heeft immers geen geheugen dat zegt: nu is het lang geleden dat er een zes gegooid is, ik ga nu eindelijk eens op 6 vallen". Zelfs al heb je 1000 keer geen 6 gegooid, de kans dat de 1001-ste keer een zes is, is nog steeds 1/6. Voorbeeld met de lotto: 'wat is de kans dat ik 2x achtereen de lotto win' is niet hetzelfde als 'ik won vorige week de lotto, wat is de kans dat ik nu weer win'. Die balletjes 'weten' immers niet hoe ze vorige week gevallen zijn.

  • 08/02/2024 - Walter (vraagsteller)

    U zegt dat mijn stelling "Hoe langer het duurt vooraleer een zes wordt gegooid, hoe groter de kans dat bij de volgende worp dit wél lukt." niet correct is. Ik ben akkoord dat "minstens een keer een zes gooien bij n worpen" niet hetzelfde is als "een zes gooien bij één worp" [en ook dat teerlingen (en lottoballetjes) geen geheugen hebben...] Maar hoe meer keren een teerling geworpen wordt ("n" in de formule 1 - (5/6)^n) hoe groter de kans dat er een zes tussen zit. Als er na n-1 keer nog steeds geen zes is gevallen en de teerling niet getrukeerd is, wordt de kans dat dit bij een volgende worp wél gaat gebeuren volgens dezelfde formule toch altijd groter?! Niemand gelooft trouwens dat je een niet getrukeerde teerling 1000 keer achter elkaar kunt werpen zonder dat die op een zes valt, intuïtief voel je toch ook aan dat hoe langer het duurt hoe groter de kans wordt dat de zes valt. Anderzijds ben ik het vanzelfsprekend met u eens dat de kans bij een individuele (1001ste) worp 1/6 is en blijft. Er zit duidelijk een fout in mijn redenering, maar welke? Alvast dank om een laatste poging tot opheldering te ondernemen.

  • 08/02/2024 -  (wetenschapper)

    Nogmaals, als je een teerling gooit is de kans op een zes gelijk aan 1/6, en dit ongeacht wat er voor gegooid is. Dat je na 1000 keer nog steeds geen zes gegooid hebt met een niet-getrukeerde teerling is inderdaad zeer onwaarschijnlijk, maar niet onmogelijk. Maar daar gaat het niet om. Zelfs als dat zo was (en de teerling is niet getrukeerd), dan is de kans op een zes bij de 1001-ste gooi nog steeds 1/6. De teerling weet immers zelf niet hoe hij bij vorige worpen gerold is. Dus neen, de kans op een zes wordt niet groter omdat je een hele tijd geen zessen gegooid hebt. Alle worpen zijn immers onderling onafhankelijke gebeurtenissen, en de kans op elk van die afzonderlijke gebeurtenissen (een zes gooien) is 1/6.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw