Hoe zet je de differentievergelijking van Fibonacci om in de vorm van een matrix?

Antwoord

Beste Bo,

Voor het gemak definieer ik de Fibonacci-getallen recursief als

$\begin{cases} F_0=0\\ F_1=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \text{ als } n\geq 2\end{cases}$

De diffentievergelijking van de rij van Fibonacci kunnen we formuleren via matrices door dit te bekijken als een lineaire afbeelding die toegepast wordt op 2 opeenvolgende getallen, om zo het volgend getal te berekenen. Ik verklaar me. Herschrijf vergelijking als

$\begin{cases} F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\\ F_n=F_n\end{cases}$

Dit komt dat overeen met

$\begin{cases} ​F_{n+1}​​=1\cdot F_n​​+1\cdot F_{n−1}​​​\\​​F_n​​=1\cdot F_n​​+0\cdot F_{n−1}​​​ \end{cases}$

en dit kan je makkelijk omzetten naar een matrixvergelijking:

$\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n}\\F_{n-1}\end{pmatrix}$ .

De eigenwaarden van deze matrix kan je dan weer gebruiken om een formule te vinden voor de Fibonaccigetallen (dit komt overeen met het diagonaliseren van de bovenstaande 2x2-matrix). Over dit laatst kan je ongetwijfel veel informatie terugvinden.

Hopelijk helpt dit je wat vooruit.

Stijn Symens

Universiteit Antwerpen