Wat is het reële deel van de complexe oplossing van een vierkantsvergelijking met D<0?

Willy, 75 jaar
3 april 2023

Men spreekt van een "complexe oplossing" als de D van een tweedegraadsvergelijking < 0. Ik dacht dat een complex getal bestaat uit een reëel getal en een imaginair getal. De twee imaginaire getallen kan ik bepalen, maar wat is dan het reëel getal?

Antwoord

Dat doe je met de gewone formule voor het oplossen van een vierkantsvergelijking. Stel dat de vergelijking is:

a x^2 + b x + c = 0

Dan is de discriminant: D = wortel (b^2 - 4ac)

In het algemeen zijn de oplossingen: x1 = (-b - wortel(D)) / 2a en x2= (-b + wortel(D)) / 2a

(1) Als D positief is bestaat wortel(D) en heb je zo twee niet-gelijke reële oplossingen. Dan blijft gans de berekening gewoon reëel. 

(2) Als D nul is, is wortel(D) ook nul en heb je twee gelijke reële oplossingen: x1 = x2 = -b / 2a

(3) Als D negatief is heeft wortel(D) geen reële oplossing maar wortel(-D) wel. Zo krijgt wortel(D) twee complexe waarden: plus of min j . wortel(-D)

De twee oplossingen zijn dan complex, en tevens complex toegevoegd (= zelfde reëel deel, tegengesteld imaginair deel)

Dat reëel deel is voor beide : -b / 2a

en wortel(D) / 2a wordt zo: j . plus of min wortel(-D) / 2a


vb x^2 + 6x + 10 (dus a=1, b=6, c=10)

Heeft D = 6^2 - 4 . 1 . 10 = -4 dus wortel(-D) = 2

Opl: x1 = -3 + 1 . j x2 = -3 - 1 . j

Je ziet dat die -3 inderdaad gelijk is aan -b / 2a

Reacties op dit antwoord

  • 28/04/2023 - Willy (vraagsteller)

    Hartelijk dank, professor!

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw