Hoe bereken je de kans om n keer een zes te gooien?

Antwoord

Beste Christine,

Als je de redenering zou volgen, dan zou je moeten concluderen dat als je zes keer gooit met een gewone dobbelsteen (n = 6) de kans om een keer zes ogen te gooien gelijk is aan 6 x 1/6 = 1 of 100%. Dat klopt natuurlijk niet: het is best mogelijk om zes keer met een dobbelsteen zonder ooit het hoogste aantal ogen te gooien.

Maar hoe moet de berekening dan wel?

Wel, laten we eerst de omgekeerde vraag stellen: wat is de kans om na n keer geen enkele keer zes ogen te gooien?*

Bij de eerste worp (n = 1) is dat 5/6. Bij de tweede worp is dat opnieuw 5/6 en de kansen bij de eerste en tweede worp zijn onafhankelijk van elkaar, dus de kans om geen zes te gooien voor beide worpen samen (n = 2) is 5/6 x 5/6 = 25/36. De kans om in twee worpen wel minstens een zes te gooien is dus 1 - 25/36 = 11/36 > 0.3.

Ter controle van onze methode kun je voor twee worpen ook met de hand nog alle combinaties nagaan: maak een rooster van zes bij zes. Nummer de rijen van 1 tot 6 (dit stellen de mogelijke uitkomsten van de ene dobbelsteen voor) en nummer de kolommen ook van 1 tot 6 (voor de andere dobbelsteen). Je kunt nu zien dat er 36 combinaties zijn (de noemer), die onderling allemaal even waarschijnlijk zijn, waarvan er 1 combinatie is waarbij beide dobbelstenen zes ogen gooien, 5 waarbij enkel de ene en 5 waarbij enkel de andere zes ogen gooit. En die 1 + 5 + 5 is de 11 in de teller.

Voor drie worpen samen (n = 3) is de kans om geen zes te gooien 5/6 x 5/6 x 5/6 = 125/216. De kans om in drie worpen wel een zes te gooien is dan 91/216 > 0.4, maar minder dan 1/2. (Om dit te controleren heb je een driedimensionaal rooster nodig, of zes roosters van zes bij zes.)

Voor zes worpen samen is de kans om geen zes te gooien 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 15.625/46.656 en de kans om wel minstens een zes te gooien in zes worpen is dus 31.031/46.656 > 0.6, maar verre van 1.

De algemene formule voor de kans om minstens een keer zes ogen te gooien in n worpen is dus: 1 - (5/6)^n. Hiermee kun je nu zelf controleren dat de kans om minstens een keer zes ogen te gooien in vier (n = 4) worpen inderdaad groter is dan 0.5, maar dat deze kans toch beduidend lager uitvalt dan 2/3.

Vriendelijke groeten,

Prof Sylvia

*: Ook bij het verjaardagenprobleem (Wat is de kans dat n willekeurige mensen een verjaardag delen?) verloopt de oplossing via een omkering naar de vraag: Wat is de kans dat dit niet zo is? Dit staat verder uitgewerkt op de Wikipedia-pagina over de verjaardagenparadox.

En wat is de kans dat je volgende adem minstens 1 molecule van Julius Caesar's laatste adem bevat? Die vraag heb ik al eerder besproken op deze website en ook hierbij verloopt het antwoord via het beantwoorden van de omgekeerde vraag.