Hoe bereken ik het middelpunt van een kwart cirkel?

Antwoord

Belangrijk : we kiezen de kwart cirkel gelegen in het eerste kwadrant; De berekening is daarvoor gemaakt. Lees dus ook de formulering op het einde!

Vooreerst kan je al opmerken dat dat punt dan op de eerste bissectrice ligt gezien de symmetrie van een kwart cirkel tegenover deze lijn. Het volstaat dus de x-coördinaat te zoeken. de y-coördinaat zal eraan gelijk zijn.

Die x-coördinaat vind je met

xm =   integraal(x,dS) / integraal(dS)

Hier is dS een  infintesimaal oppervlakte-elementje   dx.dy  van de dubbelintegraal in cartesische coördinaten. In poolcoördinaten wordt dat  r.dr.dtheta

De noemer van deze uitdrukking is gewoon de oppervlakte van het gebied, in uw geval een kwart cirkel, en die is  pi R² / 4

De teller is dus de dubbelintegraal van x over het kwart cirkel en het eenvoudigste is dit te berekenen in poolcoördinaten. Dan zijn alle grenzen van de dubbelintegraal constant. De x wordt dan gewoon  r.cos(theta)  conform de definitie van poolcoördinaten.

Dus  teller  =  integraal( r . cos(theta) . r dr dtheta) met r = 0..R en theta = 0..pi/2

Deze dubbelintegraal geeft R³/3

Als we dit delen door de oppervlakte van het kwart cirkel:  xm = 4R / (3pi)

en zoals gezegd, dus ook ym = 4R / (3pi)

Veralgemening: als we de kwart cirkel bijvoorbeeld tussen -pi/4 en +pi/4 leggen krijgen we natuurlijk andere coördinaten namelijk :  xm =  4R wortel(2) / (3pi)      en ym = 0

Daarom is het beter het antwoord te formuleren op een manier die onafhankelijk is van de ligging van de kwart-cirkel. We kunnendit door te zeggen:

Het massamiddelpunt ligt op het lijnstuk dat de kwart cirkel vanuit zijn middelpunt in twee sectoren van een achtste cirkel deelt,

en dit op een afstand [ 4R wortel(2) ] / [ 3 pi ]  van dat middelpunt.