Op hoeveel manieren kan je 17 verschillende leerlingen verdelen in 3 groepen van 4 en 1 groep van 5?

Antwoord

Laat ons die groepen eerst een naam geven: G5, G3A, G3B, G3C en G3D

We vullen nu de groepen op door de 17 leerlingen een plaats te geven. Voor de eerste plaats in G5 kan je kiezen uit 17, voor de tweede nog uit 16, en zo voort.

Dat geeft in totaal 17! mogelijkheden maar dat is veel te veel want nu hebben de in elke groep de leerlingen een onderlinge plaats gegeven.

Een zelfde groep van bijvoorbeeld 3 lln zit er nu eigenlijk zes keer in, als ABC, ACB, BAC, BCA, CAB en CBA

Dus die tevelen moeten er uit.

Op hoeveel manieren kan je een groepje van N onderling permuteren? Dat is N!

We moeten dus voor elke groep de onderlinge volgorde eruit halen door die 17! te delen door de faculteit van het aantal leden in elke groep. We moeten die 17! dus delen door 5! en viermaal door 3!.

Dat geeft dus:  17! / ( 5!  3!⁴ ) = 2 287 084 800

Moesten alle groepen een verschillend aantal leerlingen hebben was dit het einde van de redenering maar we hebben hier groepen (4) met eenzelfde aantal leerlingen. En eigenlijk hebben we die vier groepen onderling nog een nummer gegeven.

Opdelingen als    G3A   G3B  G3C  G3D   en   G3B   G3A  G3C  G3D   zit er nu nog als zijnde verschillend in terwijl dit niet de bedoeling is. Groepen met een gelijjk aantal leden mogen onderling niet te onderscheiden zijn.

Net zoals we binnen een groep de volgorde van de leerlingen er moeten uithalen moeten we hier de volgorde van groepen met gelijke grootte er uithalen. De benamingen G3A tmt G3D zijn dan uitgewist. Dit moet dus gebeuren voor elke groepje van groepen met een gelijk aantal leden. Voor G5 moet er dus niets gebeuren.

Vier groepen kunnen op 4! gerangschikt worden. We moeten dus nog eens delen door 4!

Dat geeft dan uiteindelijk  95 295 200  mogelijke opdelingen

Je kan dit ook zien aan volgend zeer eenvoudig voorbeeld: stel dat je 4 leerlingen hebt en je moet twee groepen van 2 maken; Dat kan natuurlijk maar op drie manieren:

AB en CD    ,    AC en BD    en   AD en BC       dat is makkelijk zo op te schrijven. Er ziijn dus 3 opdelingen

we redeneren op dezefde manier:  Voor de eerste leerling uit de eerste groep kan je kiezen uit 4, voor de volgende uit 3 ...   => dat geeft 24 mogelijkheden.

Je ziet, als we nu enkel corrigeren voor de volgordes BINNEN een groep, dus als we tweemaal delen door 2, vinden we nog steeds 6 oplossingen en dat is duidelijk niet het gevaL;

we hebben nu nog   AB en CD    ,   CD en AB   ,   AC en BD  , BD en AC  ,  AD en BC  en  BC en AD

Maar omdat de twee groepen een gelijk aantal leden hebben moet we er nog voor zorgen dat die twee groepen geen ondelinge volgorde hebben. Dus moeten delen door 2!, en dan bekomen we inderdaad de correcte waarde 3.