Kent pi een einde in decimalen?

Antwoord

Beste Tim,

Het getal pi is irrationaal. Dat betekent dat het aantal decimalen oneindig is. Bovendien onderscheiden irrationale getallen zich van de rationale getallen (breuken) waarbij rationale getallen wel oneindig veel decimalen hebben maar in een herhalend patroon. Irrationale getallen hebben geen herhalend patroon. Er is al veel onderzoek gebeurd naar het patroon van de decimalen van het getal pi.

In een praktische toepassing zoals de berekening van de omtrek van een cirkel waarin het getal pi verschijnt, moet je de decimale voorstelling afbreken. Hierbij maak je dus een afbreekfout. In de toepassing is dat meestal geen probleem omdat je de omtrek wil bepalen op een aantal decimalen nauwkeurig. Je moet er dus voor zorgen dat bij het afbreken van de decimale voorstelling, je verder afbreekt dan de nauwkeurigheid die je wenst te bekomen voor de omtrek.

Bijvoorbeeld, ik heb een cirkel van straal 1 meter en ik wens de omtrek te kennen van die cirkel met een nauwkeurigheid van 1 cm. Waar moet ik dan afbreken opdat de fout die ik maak op de berekende omtrek kleiner is dan 1 cm?

Poging 1: pi is ongeveer 3 wat leidt tot een benadering van de omtrek van 2 x pi x 1 meter = 6 meter

Poging 2: pi is ongeveer 3,1 wat leidt tot een benadering van de omtrek van 2 x pi x 1 meter = 6,2 meter

Poging 3: pi is ongeveer 3,14 wat leidt tot een benadering van de omtrek van 2 x pi x 1 meter = 6,28 meter

In dit laatste heb ik een uitkomst die een bepaling geeft van de omtrek in centimeter namelijk 628 cm maar is deze nauwkeurig genoeg? 

Poging 4: pi is ongeveer  3,141 wat leidt tot  een benadering van de omtrek van 2 x pi x 1 meter = 6,282 meter of 628,2 cm

We mogen dus concluderen dat 628 cm een voldoende nauwkeurige bepaling is van de omtrek van de cirkel met straal 1 meter zodat de foutmarge kleiner is dan 1 cm.

In de afwezigheid van afbreekfouten moet je op voorhand de gewenste foutmarge bepalen of tolerantie.

Foutenanalyse wordt vaak uitgevoerd in de toegepaste wiskunde. Computers lijken correct te rekenen maar voor ingewikkelde en lange berekeningen maken computers ook fouten. Wat blijkt: een berekening zoals je die met pen en papier maakt is vaak voor een computer niet efficiënt (vaak te traag/ risico of fouten) zodat je alternatieve rekenkunde moet aanleren/programmeren aan een computer. Afrondfouten is 1 vorm van fouten die computers kunnen maken maar we onderscheiden nog andere fouten zoals methodefouten en onvermijdelijke fouten. De tak van de wiskunde die bestudeert hoe computers (best) rekenen of de algoritmen om berekeningen uit te voeren heet numerieke analyse of soms wetenschappelijk rekenen.

Vriendelijke groeten,

Kurt.