Is er een specifieke verklaring waarom na n keer het onderlinge verschil te berekenen tussen machten er een hele reeks met n! ontstaat?

Antwoord

Dag Willem

Dat heb je goed gezien want het is inderdaad geen toeval, maar een vast patroon. Laten we even kijken naar de verschillen van de eerste vijf opeenvolgende vierdemachten:

(0⁴ , 1⁴ , 2⁴ , 3⁴ , 4⁴)

(0 , 1 , 16 , 81 , 256) → (1 , 15 , 65 , 175) → (14 , 50 , 110) →  (36 , 60) →  24

En dat is precies 4!. Je hoeft overigens niet bij 0 te beginnen, het werkt met eender welke vijf vierdemachten van opeenvolgende natuurlijke getallen; idem voor andere machten.

Om hier wat structuur in te vinden, heb ik het nemen van de onderlinge verschillen voor de eerste vier derdemachten schematisch voorgesteld, in de hoop een patroon te ontdekken.

Misschien herken je hier al iets in, maar indien niet kan je hetzelfde schema maken voor bijvoorbeeld de eerste drie tweedemachten (0², 1², 2²) en de eerste vijf vierdemachten. In het geval van die vierdemachten ziet de onderste regel er dan zo uit: 4⁴ - 4 · 3⁴ + 6 · 2⁴ - 4 · 1⁴ + 0⁴. Ik voeg aan de eerste en laatste term een factor '1' toe en geef wat kleur om ook hier een patroon in te herkennen:

Je ziet nu:
- in het blauw de binomiaalcoëfficiënten (uit 4) of dus ook de getallen uit de vijfde rij van de driehoek van Pascal;
- in het rood een alternerend teken (+ , - , + , ...), beginnend met een positieve eerste term;
- in het groen dalende grondtallen van 4 tot en met 0;
- de exponent van al drie grondtallen is telkens 4, we namen immers vierdemachten.

We kunnen deze som compacter schrijven met behulp van het sommatieteken:

Dit blijkt dus 4! te zijn (zie berekening hierboven) maar deze formule kunnen we gemakkelijk veralgemenen door in plaats van 4, een willekeurig natuurlijk getal n te nemen. Ons vermoeden is dus dat de volgende formule voor elk natuurlijk getal n geldt:

Deze formule blijkt inderdaad te kloppen en verklaart dus ook waarom we telkens n! terugvinden als we die opeenvolgende verschillen van n^e-machten berekenen. De formule bewijzen is niet zo eenvoudig en kan bijvoorbeeld op een combinatorische manier. Je kan de formule ook terugvinden als een speciaal geval van de zogenaamde Stirling-getallen (van de tweede soort), zie bv. hier en neem in formule (10) vervolgens k = n, samen met formule (4) die S(n,n) = 1 stelt.

Tot slot: geen bewijs, maar wel een interessante analogie. Je kan het (herhaald) nemen van verschillen zien als een discrete variant van het (herhaald) afleiden. Wat is bijvoorbeeld de tweede afgeleide van x²? Of de derde afgeleide van x³? Je herkent wellicht hetzelfde patroon: de n^e afgeleide van xⁿ is immers n! en dat is niet moeilijk om aan te tonen.

Groeten
Tom