Hoe bewijs ik dat 4 tot de macht n + 2 voor elk natuurlijk getal > 1 deelbaar is door 6?

Antwoord

Dag Jemse

Je kan dat op verschillende manieren bewijzen; misschien hebben jullie net bewijzen via inductie gezien?

Bij een bewijs via inductie toon je dat 4ⁿ+2 deelbaar is door 6 voor alle natuurlijke getallen n (met n > 1 volgens je opgave, hoewel het voor n = 1 ook al geldt) door:
- na te gaan dat 4ⁿ+2 deelbaar is door 6 voor de eerste waarde van n waarvoor je het wil bewijzen;
- aan te tonen dat als 4ⁿ+2 deelbaar is door 6, dat dan ook 4ⁿ⁺¹+2 deelbaar is door 6.

Je kan zelf gemakkelijk nagaan dat het klopt voor n = 2. Als je veronderstelt dat 4ⁿ+2 deelbaar is door 6, merk dan op dat je 4ⁿ⁺¹+2 handig kan schrijven als:

4ⁿ⁺¹ + 2 = 4*4ⁿ + 2  = 4*(4ⁿ + 2) - 6

Wat er tussen haakjes vetgedrukt staat, is deelbaar door 6 (onze veronderstelling of 'inductiehypothese'), dus... Kan je de redenering nu zelf afmaken?
 

Ik geef nog een andere aanpak.

- Het is duidelijk dat 4ⁿ+2 deelbaar is door 2 (want 4ⁿ is deelbaar door 4, dus zeker door 2, en dan staat er een som van termen die deelbaar zijn door 2) dus we hebben deelbaarheid door 6 als 4ⁿ+2 ook deelbaar is door 3.
- Verder geldt dat 4ⁿ+2 deelbaar is door 3 als en slechts als 4ⁿ+2 - 3 = 4ⁿ-1 deelbaar is door 3. Maar 4ⁿ-1 = (2ⁿ)²-1 en dat kunnen we als een product schrijven via a²-b² = (a-b)(a+b) en wordt zo (2ⁿ-1)(2ⁿ+1).
- Trucje: merk op dat (2ⁿ-1) . 2ⁿ . (2ⁿ+1) een product is van drie opeenvolgende natuurlijke getallen, dus precies één ervan is deelbaar door 3. Dat kan niet de middelste (2ⁿ) zijn (waarom niet?), dus is een van de twee andere factoren in het blauw deelbaar door 3, en dus ook 4ⁿ-1, en dus ook 4ⁿ+2.

Groeten
Tom