Hoeveel verschillende combinaties van 4 cijfers kan je maken uit een reeks van 12 cijfers?

Antwoord

Beste Jean-Pierre,

Stel je een groep voor van 12 personen met genaamd Arne, Bert, Cedric, Dirk, Evy, Felien, Geert, Hanne, ILse, Joke, Karel, Lara.
Of kortweg: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L

Er zijn twee manieren op ik je vraag kan interpreteren. Afhankelijk van de interpretatie van je vraag zijn er 495 combinaties of 3 combinaties.

1) Elke groep moet verschillend zijn, maar twee personen mogen wel lid zijn van de zelfde groep op verschillende dagen.

Er zijn in totaal 495 manieren om 4 personen te kiezen uit een groep van 12 personen. De redenering gaat als volgt:

Stel dat je de eerste persoon gaat kiezen om het eerste groepje van vier the vormen, dan heb je 12 keuzes, want er zijn 12 personen. Stel dat je Arne kiest.
Daarna wil je de tweede persoon kiezen voor het groepje van vier te vormen. Nu zijn er slechts 11 mensen over om van de kiezen, want 1 van die 12 mensen zit al in het groepje en je kan niet dezelfde persoon twee keer kiezen. Stel dat je dan kiest voor Evy. Het groepje bestaat dus al uit: A en E, en er moeten nog twee personen gekozen worden. Voor de derde persoon te kiezen heb je slechts 10 personen over, stel dat je dan kiest voor Dirk. Dan bestaat het groepje uit A, E en D. Dan moet je de laatste persoon kiezen, en er schieten nog 9 personen over. Stel je dat je uit die laatste 9 personen kiest voor Ilse. Dan bestaat het groepje uit A, E, D, en I.

Deze redenering kan herhaald worden voor andere keuzen van personen zonder dat er iets aan de cijfers verandert. In het begin heb je 12 keuzes, dan 11, dan 10, dan 9. Het aantal groepjes is dus 12*11*10*9=11880.

Helaas is het hiermee nog niet opgelost. Want deze berekening ziet de volgende keuzes als verschillend: A, E, D, I en E, A, D, I. Maar de volgorde van de keuzes maakt niet uit voor de uiteindelijke samenstelling van de groep. Voor ons doeleind zijn A, E, D, I en E, A, D, I dezelfde groep. Voor een groepje van 4 personen zijn er namelijk 24 manieren om ze te ordenen. Stel bijvoorbeeld dat je een groepje hebt van A, B, C, D. Dan, zijn er bijvoorbeeld 6 volgordes beginnende met A:

volgorde 123456
persoon
1:       AAAAAA
2:       BBCCDD
3:       CDBDBC
4:       DCDBCB

Deze redenering is het zelfde als je begint met persoon B, C en D. Dus in totaal 6 * 4 = 24 volgordes om een 4 personen te ordenen. Je kan het ook als volgt zien. Voor de 1ste plaats heb je 4, keuzes. Dan zijn er nog 3 keuzes over voor de tweede plaats, dan nog 2 keuzes voor de 3de plaats, en uiteindelijk nog 1 keuze voor de laatse plaats. Dus heb je 4*3*2*1=24. Dit is dezelfde redenering als waarmee we tot de concluse 12*11*10*9 zijn gekomen om 4 mensen te kiezen uit een groep van 12.

We weten nu dus dat als je 4 personen kiest uit een groep van 12, waarbij verschillende volgordes als verschillende groepen beschouwt, dat je 12*11*10*9 groepen hebt. Maar voor elke groep die je zo kunt vormen zijn er nog 24 andere groepen die bestaan uit dezelfde personen maar in een andere volgorde. Dus je hebt eigenlijk 24 keer minder groepen dan de oorspronkelijke 11880. Zo kom je tot 11880/24=495. Er zijn dus 495 unieke groepen die je kan vormen met 4 personen te kiezen uit 12 personen. Deze berekening wordt de binomiale coefficient genoemd, en wordt heel vaak gebruikt bij kansrekenen.

2) Niemand mag opnieuw samen zitten met de zelfde persoon.

Maar, als ik je vraag goed begrijp. Is het de vereiste dat er nooit twee dezelfde personen bij elkaar golfen. Dus als bijvoorbeeld op dag 1 de personen A, B, C, D samen golfen, en op dag 2 de personen A, B, E, F. Dan is dit niet goed, want A en B zitten dan voor twee opeenvolgende dagen samen in een groep. Helaas is het dan onmogelijk om aan de vereiste de voldoen. Want je hebt drie groepen nodig per dag, en je gaat 3 dagen golfen. Dus eigenlijk heb je 12 groepen nodig. En je kan er slechts drie maken.

Het bewijs gaat als volgt. Stel dat je groepen er als volgt uit zien op dag 1:

groep 1: ABCD
groep 2: EFGH
groep 3: IJKL

Elke rij van het vierkant hierboven is dus een groep op dag 1. Nu moet je een groep samen stellen voor dag 2. Maar, niemand mag op dag 2 samen spelen met iemand van dezelfde rij, want met iemand van dezelfde rij heeft die persoon op dag 1 al samen gespeeld. Dat wil dus zeggen dat (tijdens het samenstellen van de eerste groep voor dag 2) als je een persoon kiest uit de eerste rij, dat je niemand anders meer kan kiezen uit die eerte rij. Je kan dus eigenlijk maar 1 persoon kiezen per rij. Maar je moet 4 personen kiezen en er zijn slechts drie rijen. Je kan dus nooit een 4de persoon selecteren.

Het best wat je dus kan doen is wat puzzelen om zo veel mogelijk te mengen. Maar er gaan altijd mensen verschillende dagen samen zitten in een groep.