De oppervlakte en omtrek van een cirkel berekenen, zonder pi toe te passen, kan dat?

Antwoord

Dag Hugo

Bedankt voor jouw vraag. Eerst en vooral, mijn excuses dat ik mij niet ga baseren op jouw figuur, want ik vind deze niet helemaal duidelijk (ik kan niet alle tekst lezen die erop staat). Maar ik hoop dat ik jou met dit antwoord kan helpen.

Je hebt een vierkant en een cirkel met dezelfde oppervlakte. Als je niet gebruik wil maken van de waarde van pi uit de boeken, kan je inderdaad stellen dat er een constante C bestaat waarvoor geldt dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan C*(r^2), met r de straal van de cirkel. Anderzijds weet je dat je een vierkant hebt met diagonaal D dat dezelfde oppervlakte heeft, die gelijk is aan (D^2)/2 (zoals je zelf al stelde). Met andere woorden, de constante C moet dan gelijk zijn aan:

C = 0.5 * (D/r)^2

Aangezien jij stelde dat D/r= 5/2, kom je inderdaad een constante uit die gelijk is aan: C=3.125. Idealiter is dit gelijk aan pi, wat betekent dat jouw benadering niet voldoende precies was. De oppervlakte van het vierkant dat je gebruikt hebt, was niet exact gelijk aan dat van de cirkel of de diagonaal was niet exact 5/2 maal de straal. Daarom kom je een waarde dichtbij, maar niet gelijk aan pi uit. Hoe nauwkeuriger je werkt (hoe beter je de verhouding D/r bepaalt), hoe dichter je bij pi zult uitkomen.

Uiteindelijk kan je zeggen dat je met jouw berekening de waarde van pi benaderd hebt. Er zijn verschillende manieren om dit te doen, zowel empirische (die een beperkte nauwkeurigheid geven) als numerieke/analytische (die een grote nauwkeurigheid geven, op voorwaarde dat je precies genoeg werkt). Een kort overzicht kan je op deze Engelstalige site vinden: https://www.wikihow.com/Calculate-Pi.

Om terug te keren naar jouw oorspronkelijke vraag: in de berekening die je voorstelt, definieer je eigenlijk pi door de oppervlakte van het vierkant en de cirkel gelijk te stellen. Je gebruikt dan wel niet de waarde van pi die je in boeken vindt, maar je berekent deze zelf. Met andere woorden, je kan niet zomaar de oppervlakte van een cirkel bepalen op basis van zijn diameter of straal zonder op zijn minst een benadering van pi te gebruiken. Let wel: als je de omtrek (O) en de straal (r) kent, dan kan je de oppervlakte (A) bepalen zonder pi te kennen:

A=O*r/2 

Hopende hiermee jouw vraag beantwoord te hebben,

Laurent