Wat is het traagheidsmoment bij een willekeurige driehoek?

Antwoord

Dag Wouter,
 

Je kan die integraal herschrijven als volgt:
 

Int(r^2 dm) = Int(r^2*rho(x, y) dxdy).
 

Rho(x, y) is hier de (plaatsafhankelijke) massadichtheid van de driehoek. Verder kan je r^2 schrijven als x^2 + y^2. Je integrandum is dus een functie van x en y. Als we die functie "f" noemen, dan krijgen we:
 

Int((x^2 + y^2)*rho(x, y) dxdy) = Int(f(x, y) dxdy).
 

Stel dat de driehoek waarover je wil integreren hoekpunten A(x1, y1), B(x2, y2) en C(x3, y3) heeft. Je kan de integraal dan oplossen door een coördinatentransformatie uit te voeren, zodanig dat de oorspronkelijke driehoek wordt omgezet naar een met hoekpunten in D(0, 0), E(1, 0) en F(0, 1). We kunnen x en y schrijven in functie van de nieuwe coördinaten, s en t:
 

x = x1 + s*(x2 - x1) + t*(x3 - x1)
 

y = y1 + s*(y2 - y1) + t*(y3 - y1)
 

Verder moeten we ook dxdy transformeren. Dit gebeurt met behulp van de Jacobiaan J, die in dit geval  een constante is, die gelijk is aan:
 

J = (x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1).
 

Nu kunnen we de integraal schrijven in functie van de nieuwe coordinaten, s en t:
 

Int(f(x, y) dxdy) = Int(f[x(s, t), y(s, t)]*J dsdt).
 

In deze dubbelintegraal is de binnenste integraal er een die je over s kan integreren van 0 tot 1-t. De buitenste integraal integreer je dan over t, van 0 tot 1. Je kan op een figuur nagaan dat deze integratiegrenzen inderdaad kloppen. Dit is niet de enige mogelijke keuze van grenzen: t integreren van 0 tot 1-s in de binnenste integraal, en s integreren van 0 tot 1 in de buitenste integraal is bijvoorbeeld ook een optie. Deze integraal zou, voor een niet te complexe dichtheidsverdeling, analytisch oplosbaar moeten zijn.