Hoe bewijs ik dat sin3A . cos(C-B) + sin 3C . cos (B-A) + sin 3B . cos (A-C) = 0?

Antwoord

Wel, je kan dat niet bewijzen omdat het niet waar is !   Neem bijvoorbeeld a = b = 0 en c = pi/2  en het klopt niet.

Maar omdat er drie hoeken in het spel zijn die volgens hetzelfde patroon voorkomen dacht ik dat het misschien zou gelden als de drie hoeken samen 180° (pi radialen) zijn, .. en jawel!

Het is enkel waar indien de som van A, B en C gelijk is aan pi, dus als A, B en C de hoeken van een driehoek zijn  (of ook als A + B + C gelijk is aan een veelvoud van pi)

Ik toon het aan voor  A + B + C = pi

Eerst met de formules van Simpson:

eerste term:

sin(3A) cos(C-B) = 0.5 [  sin(3A + C - B) + sin(3A - C + B) ]   

In de eerste sinus van het rechterlid vervangen we C door pi - A - B, en in de tweede B door pi - A - C

Dus:   ... = 0.5 [  sin(pi + 2A - 2B) + sin(pi + 2A - 2C)  ]  = - 0.5 [ sin(2A - 2B) + sin(2A - 2C)  ]   = 0.5 [ sin(2B - 2A) + sin(2C - 2A) ]      

Tweede en derde term, gezien ze dezelfde structuur hebben als de eerste kunnen we gewoon de letters doorschuiven:

dus:  2de term :  0.5 [ sin(2A - 2C) + sin(2B - 2C) ]

        3de term :   0.5 [ sin(2A - 2B) + sin(2C - 2B) ]

Tel de drie bijeen,  

0.5 [ sin(2B - 2A) + sin(2C - 2A) ]   +  0.5 [ sin(2A - 2C) + sin(2B - 2C) ]   +  0.5 [ sin(2A - 2B) + sin(2C - 2B) ]  = 0

want voor elke hoek  t  geldt   sin(-t) = - sin(t),  dus bijvoorbeeld  sin(2A - 2B) = - sin(2B - A)

De eigenschap geldt ook voor  A + B + C = 2 pi    want schrijf dat bijvoorbeeld  als   A + B +( C -pi) = pi

Dan geldt de eigenschap voor de hoeken  A, B  en C -pi   want hun som is  pi.

Die C - pi  gaat in elk van de drie plaasten waar C staat   pi  of  3 pi bijvoegen of uitnemen maar omdat  sin(t + pi) = - sin(t)   (en ook cosinus)    gaat elke term met -1 worden vermenigvuldigd zodat de som die nul is nul blijft.