Waarom heb je als je 8 willekeurige gehele getallen kiest, altijd 2 getallen die een 7-voud verschillen?

Antwoord

Beste Amber

Dit is een typisch probleem dat je kan oplossen met het 'duiventilprincipe', maar zelfs als je daar nog niet van gehoord hebt, kan je de redenering waarschijnlijk wel volgen.

Als je een getal deelt door 7, zijn er zeven mogelijke resten: rest 0 (het getal is deelbaar door 7) of rest 1, 2, 3, ... , 6. Omdat je 8 getallen kiest, moeten er minstens twee getallen zijn met dezelfde rest bij deling door 7, want er zijn maar zeven mogelijke resten. Het verschil van deze twee getallen is precies een zevenvoud; begrijp je waarom?

Je kan het symbolisch opschrijven: noem deze getallen bijvoorbeeld x en y, de respectievelijke quotiënten q₁ en q₂ en hun gemeenschappelijke rest r, dan geldt:

x = 7q₁ + r en y = 7q₂ + r

En dus voor hun verschil:

x - y = (7q₁ + r) - (7q₂ + r) = (7q₁ - 7q₂) + (r - r) = 7(q₁ - q₂)

Hun verschil is dus duidelijk een zevenvoud of anders gezegd, het verschil is deelbaar door 7.

Als je dit kan volgen, is het niet moeilijk meer om in te zien dat je het veel algemener kan stellen: bij n+1 getallen zijn er altijd minstens twee die een n-voud verschillen.

Groeten
Tom