Waarom heb je als je 8 willekeurige gehele getallen kiest, altijd 2 getallen die een 7-voud verschillen?

Amber, 16 jaar
10 oktober 2017

Antwoord

Beste Amber

Dit is een typisch probleem dat je kan oplossen met het 'duiventilprincipe', maar zelfs als je daar nog niet van gehoord hebt, kan je de redenering waarschijnlijk wel volgen.

Als je een getal deelt door 7, zijn er zeven mogelijke resten: rest 0 (het getal is deelbaar door 7) of rest 1, 2, 3, ... , 6. Omdat je 8 getallen kiest, moeten er minstens twee getallen zijn met dezelfde rest bij deling door 7, want er zijn maar zeven mogelijke resten. Het verschil van deze twee getallen is precies een zevenvoud; begrijp je waarom?

Je kan het symbolisch opschrijven: noem deze getallen bijvoorbeeld x en y, de respectievelijke quotiënten q1 en q2 en hun gemeenschappelijke rest r, dan geldt:

x = 7q1 + r en y = 7q+ r

En dus voor hun verschil:

x - y = (7q1 + r) - (7q+ r) = (7q1 - 7q2) + (r - r) = 7(q1 - q2)

Hun verschil is dus duidelijk een zevenvoud of anders gezegd, het verschil is deelbaar door 7.

Als je dit kan volgen, is het niet moeilijk meer om in te zien dat je het veel algemener kan stellen: bij n+1 getallen zijn er altijd minstens twee die een n-voud verschillen.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw