Als je in een regelmatige n-hoek het aantal diagonalen telt, dan vind je 152. Wat is de waarde van n?

Antwoord

Beste Keren,

Bij dit soort vragen is het handig dat je eerst via combinatoriek een formule vindt die telt hoeveel diagonaal een regelmatige n-hoek heeft, een formule die klopt voor elke n>3. Wat is een diagonaal? Een diagonaal is een verbinding tussen twee verschillende hoekpunten, die geen zijde is. Tussen elke twee verschillende hoekpunten is er dus een diagonaal, tenzij de hoekpunten naburig zijn. We vinden dus dan in een regelmatige n-hoek uit elk hoekpunt n-3 diagonalen vertrekken. Als we nu alle diagonalen willen tellen krijgen we n keer n-3 (Het aantal hoekpunten maal het aantal diagonalen per hoekpunt). We moeten echter beseffen dat we door deze telmethode alle diagonalen dubbel hebben geteld, aangezien we elke diagonaal hebben geteld vanuit het oogpunt van het ene hoekpunt en vanuit het oogpunt van het andere hoekpunt. Daarom moeten we ons totaal delen door 2. We vinden dus dat het aantal diagonalen in een regelmatige n-hoek gegeven wordt door

1/2 n(n-3).

Als je dit aantal gelijk stelt aan 152, dan krijg je een vierkantsvergelijking

n² - 3n - 304=0,

die je kan oplossen met de formule met de discriminant (soms ook de abc-fomule genoemd) en zo vind je de gevraagde n. (Je moet hierbij natuurlijk wel enkel de positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking nemen)!

Die laatste stap die laat ik voor jou ;).

Met vriendelijke groeten,

Stijn Symens
Universiteit Antwerpen