Hoe zit het met de oppervlakte van de cirkel aan de hand van integraal: substitutie x = R.sin(t)?

Antwoord

Een cirkel met straal R en middelpunt (0,0) heeft als cartesische vergelijking  x² + y² = R²

maar om die cirkel in parametervorm te schrijven zijn er oneindig veel mogelijkheden. Je kan die cirkel immers op oneindig veel manieren doorlopen

vb1 :  x = R cos t , y = R sin t            : aan constante snelheid in tegenwijzerzin, voor t = 0 zit je in (R,0)

vb2 :  x = R sin t , y = R cos t            : aan constante snelheid in wijzerzin, voor t = 0 zit je in (0,R)

vb3 : x = R cos 5t , y = R sin 5t            : nu 5 keer sneller dan in vb1, in tegenwijzerzin, voor t = 0 zit je in (R,0)

vb4 : x = R cos t² , y = R sin t²            : voor t negatief komt draai je in wijzerzin aan steeds kleiner wordende snelheid tot je tot stilstand komt bij t = 0,

                                   als t van nul af stijgt, draai je in tegenwijzerzin, steeds sneller en sneller

.... dus als je de oppervlakte van jouw cirkel met een parameterfunctie wil bereken (dat is eigenlijk waar die substitutie kan voor staan) moet je eerst een keuze maken, en dan zijn vb1 en vb2 de meest voor de hand liggende keuzes omdat ze het eenvoudigst zijn.

Als u de substitutie  x = R sin(t)  gebruikt kan u die t inderdaad interpreteren als een hoek die gemeten wordt vanaf de positieve y-as, in wijzerzin.

Voor de oppervlakte van een cirkel met straal R neem je dan gewoon vier maal de oppervlakte van het eerste kwadrant zodat ook de cosinus daar positief is:

wortel(R^2 - x^2) wordt dan   R cos(t)   en   dx  wordt  R cos(t) dt

De integraal is dan  4x integraal [ R^2 cos²(t) ]  tussen de grenzen  t = 0   tot  t = pi/2

Die los je op met de goniometrische identiteit   cos²(t)^= 0.5 ( 1 + cos(2t))

Als je de substitutie x = R cos(t)  gebruikt krijg een integraal  4x integraal [ - R^2sin²(t) ]  maar nu  tussen de grenzen  t =  pi/2  naar   t = 0   !!!

Immers, om een positieve oppervlakte te bekomen integreer je cartesisch gezien   y.dx  en omdat y positief is (eerste kwadrant) moet dx dat ook zijn. Dus moet x toenemen. In het geval  x = R sin(t) zal t dus ook toenemen, maar in het geval  x = R cos(t) zal t afnemen als x toeneemt. Merk overigens op dat je bij de substitutie R cos(t) de integraal ook een minteken bevat wat de afnemende grenzen  pi/2 .. 0 compenseert zodat je ook met deze substitutie een positieve oppervlakte bekomt.   (nu via  sin^2(t) = 0.5 ( 1 - cos(2t))

Parameterfuncties zijn algemener dan cartesische functies  y = f(x). Een cartesische kan je immers steeds schrijven als  { x = t , y = f(t)  }

In de andere richting gaat dat bijlange niet altijd.