Hoeveel verschillende combinaties van 5 cijfers kun je maken met de getallen 1 tot en met 35?

Antwoord

Dat hangt er wat van af wat je bedoelt met het woord 'combinatie'. Stel even dat je combinaties van drie getallen uit tien neemt. Is 2 8 9 dan verschillend van 9 8 2 ? Met andere woorden, speelt de volgorde een rol of niet? En kan 1 getal meerdere keren voorkomen of niet?

Wiskundig is een combinatie een deelverzameling van een bepaald aantal p (hier 5) elementen die je neemt uit een verzameling van n (hier van 35) elementen. Dit heeft twee aspecten:

- ten eerste kan een zelfde element (hier een cijfer) geen meerdere keren voorkomen, en

- ten tweede speelt de onderlinge volgorde van die 5 bij een 'combinatie' geen rol.

Op hoeveel manieren kan je nu 5 getallen uit 35 kiezen? Eerst doe je  35 . 34 . 33 . 32 . 31  want de eerste keer heb je keuze uit 35, dan nog uit 34, dan nog uit 33  en zo 5 keer.

Maar eigenlijk heb je ze nu in volgorde gekozen. De keuze 8 - 12 - 21 - 20 - 9 is een andere keuze dan bijvoorbeeld  12 - 20 - 8 - 21 - 9 en dus moeten we daarvoor compenseren. Dat kan gewoon door te delen door het aantal manieren waarop je die 5 onderling kan ordenen, en dat is  5.4.3.2.1

Het aantal combinaties is dus  35.34.33.32.31 / 5.4.3.2.1 = 324 632

Dit zou bijvoorbeeld kunnen zijn: we hebben een groep van 35 mensen en we moeten een afvaardiging van 5 kiezen.

Als de volgorde wel van belang is heet dat een variatie : dat aantal is dan 35.34.33.32.31 = 38 955 840  Dan kies je uit een groep van 35 een bestuur van 5, met een voorzitter, een ondervoorzitter, een penningmeester, een secretaris en een woordvoerder. Zo kan je die vijf onderling van elkaar onderscheiden wat bij een combinatie niet de bedoeling is.

Als je een variatie 'helemaal opgebruikt' heb je een permutatie. Dat is het aantal mogelijkheden waarop je een verzameling van N elementen kan ordenen. Dat aantal is bij een permutatue gewoon N! . Vb op hoeveel manieren kan je 6 mensen in volgorde zetten? Dat is dus  6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Voorbeeld : je hebt een bus met 50 plaatsen en er komen 50 mensen opdagen. Op hoeveel manieren kunnen die gaan zitten?

dat is :   50! = 50.49.48.47 ......3.2.1

                    = 30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000  

                    (heel veel, met andere woorden)