Is wiskunde een ontdekking (ontleend aan de natuur) of een uitvinding (door de mens)?

Antwoord

Beste Simon,

Dit is een filosofisch vraagstuk waar we het waarschijnlijk onderling nooit precies over eens zullen raken. Ik ben geen voorstander om te postuleren dat wiskunde ontdekt wordt. Aangezien ik zelf actief ben in de toegepaste wiskunde, bekijk ik wiskunde als instrument net zoals een schroevendraaier ontworpen werd om een bepaalde doelstelling efficiënt te realiseren.

Uiteraard betekent dit absoluut geen afbreuk aan zuiver toepassing-onafhankelijk onderzoek in de wiskunde. We moeten immers ook van instrumenten onderzoeken wat haar beperkingen, mogelijkheden en efficiënt gebruik zijn. Deze mogelijkheden analyseren is precies wat zuiver wiskundig onderzoek doet: we abstraheren, veralgemenen, onderzoeken verbanden waaraan de ontworpen methodologie en concepten voldoen. Dit laat toe om het gebruik ervan nog efficiënter, nog veelzijdiger en vooral gebruiksvriendelijker te maken. Het belangrijkste argument voor mij om te stellen dat wiskunde niet ontdekt wordt is dat wiskunde veel meer is dan alleen maar stellingen beschrijven en bewijzen. Wiskunde is creatie, wiskunde is ontwerpen, wiskunde is zelfs fantaseren als je wil volgens afgesproken spelregels namelijk axioma's, postulaten en beginselen... wiskunde is kunst. 

Ik ben het doorheen het aangegeven artikel niet eens dat indien een bepaalde figuur niet aanwezig was in het verleden een andere persoon datzelfde resultaat zou blootleggen. Er is een veelheid aan voorbeelden in de wiskunde die dat ontkrachten. Heel veel stellingen uit de wiskunde dragen verschillende namen ook wanneer deze personen dat resultaat niet samen tot stand brachten. Echter kwamen die niet tot dezelfde conclusie maar herformuleerden deze lichtjes het resultaat: ze bewezen de stelling onder andere voorwaarden, gaven een andere bewijsvoering, het resultaat werd op een andere manier ingekleed enz... Er huist immers heel veel persoonlijke creativiteit in wiskundige resultaten. De voorwaarden is een belangrijk onderdeel wat helemaal anders is dan in empirisch onderzoek, voorwaarden zijn deel van het zuiver wiskundig onderzoek. Het is immers een onderzoeksvraagstuk op zich om te weten wat de zwakste voorwaarden zijn opdat een stelling geldig blijft. Deze vraagstelling is minder relevant in een fysisch gegeven omdat de randvoorwaarden reeds opgegeven zijn. In de wiskunde is een dergelijke vraag pertinent omdat het toepassingsmogelijkheden opent die tot dan toe onmogelijk zijn omdat men niet weet of de resultaten onder de ruimere toepassingsgedreven voorwaarden waar zijn. We spenderen als wiskundige gemeenschap veel tijd aan het onderzoeken of voorwaarden wel nodig zijn. Voldoende voorwaarden zijn interessant maar aantonen dat ze nodig zijn is interessanter omdat we dan weten dat het afzwakken van deze voorwaarden ten einde is. Een zoektocht naar een meer elementair bewijs is ook een belangrijk wiskundig vraagstuk waar naar mijn mening een bewijs niet ontdekt wordt maar louter ontworpen wordt. Dat is ook een belangrijke doelstelling naast de formulering van stellingen.

Een voorbeeld uit mijn eigen vakdomein de wiskundige statistiek waaraan ik denk om te illustreren dat wiskunde niet ontdekt wordt: De toets van Bartlett. Bartlett probeerde rond 1937 om op basis van het Lemma van Neyman-Pearson, dewelke een methode aanlevert om optimale toetsen te ontwerpen, een toets te bekomen voor gelijke varianties te toetsen voor data komende uit verschillende normale verdelingen. De Bartlett toets werd later onder invloed van Box in 1953 ontkracht aangezien Box aantoonde dat de optimaliteit van de toets verdwijnt voor elke afwijking van de normaliteitsaanname. Hij liet zien dat Bartlett's toets een hoger onderscheidingsvermogen heeft voor normaliteit te toetsen dan waarvoor deze initieel ontworpen werd om gelijke varianties te toetsen. Het is dan ook merkwaardig dat een procédé dat optimale toetsen voor een gegeven probleem aanlevert, later een andere rol krijgt om een andere doelstelling te bekomen. Uiteindelijk hebben zowel Bartletts alsook Box' suggestie de tand des tijds niet overleefd en worden geen van de suggesties nog gebruikt omdat er "betere" methodes zijn ontworpen. Wiskunde is dynamisch en wordt hervormd. Dit is echter ook zo voor empirsche wetenschappen maar in emprische wetenschappen haalt een theorie het mogelijk niet omdat wetenschappelijke theorieën falsifieerbaar moeten zijn en mogelijk gecorrigeerd dienen te worden indien nodig. In het voorbeeld dat ik gaf is er geen fout in Bartletts methode want het bewijs dat Bartlett gaf was correct onder de gestelde voorwaarden. Het is louter een "slecht" ontwerp voor de beoogde doelstelling. 

Kortom, wiskunde is zo veel meer dan beschrijven van absolute waarheden en stellingen, ik hoop aspecten te hebben aangeleverd dat wiskunde als wetenschap veel verder gaat dan de stellingen op zich. Het lijkt volgens mij in die aspecten meer op kunst dat ontworpen wordt eerder dan ontdekt wordt. Het wordt immers aangepast, verbeterd, verfijnd, mooier gemaakt maar het is ook onderhevig zoals bij kunst aan cultuur, tijdsgeest en trends.

Echter dit is een persoonlijke visie op een moeilijk filosofisch debat.

Groetjes,

Kurt.