Is 9 exponent 99 groter dan 9 exponent 9 exponent 9?

Antwoord

Beste Herman

In wiskundige context wordt het symbool '^' vaak gebruikt voor machtsverheffing, "a tot de macht b" wordt dan genoteerd als "a^b". Ik zal die notatie gebruiken en dan is jouw vraag of 9^99 groter is dan 9^9^9 of niet.

Het korte antwoord is 'nee', maar dan moeten we wel goed afspreken wat bedoeld wordt met "9^9^9". Die notatie is namelijk wat dubbelzinnig omdat de volgorde waarin de machten genomen worden van belang is. Er is immers een verschil tussen (a^b)^c en a^(b^c).

De meeste rekenmachines en wiskundige computerprogramma's zullen de notatie a^b^c op deze tweede manier interpreteren, dus als a^(b^c). Voor de andere variant, (a^b)^c, bestaat er een handige rekenregel: (a^b)^c = a^(bc).

Ik zal 9^99 vergelijken met de twee mogelijke interpretaties van 9^9^9:

• (9^9)^9 = 9^(9*9) = 9^81, dit is dus 81 kopies van 9 met zichzelf vermenigvuldigen en dat is ongeveer 1,966 * 10⁷⁷;
• 9^99 is 99 kopies van 9 met zichzelf vermenigvuldigen en dat is ongeveer 2,951 * 10⁹⁴;
• 9^(9^9) is véél groter: het zijn 9^9 = 387420489 kopies van 9 met zichzelf vermenigvuldigen.

Het hangt dus af van wat je precies met de notatie 9^9^9 bedoelt: (9^9)^9 is kleiner dan 9^99 maar 9^(9^9) is veel groter en dit is de meest gangbare interpretatie van 9^9^9. Om verwarring te voorkomen, is het wel veiliger om in dit geval 9^(9^9) te noteren.

Groeten
Tom