Hoe moet ik me het getal 10 tot de macht 100 voorstellen? Zoals het aantal druppels in de oceaan?

Antwoord

Beste Herman,

Om wat vat te krijgen op de grootte van 'grote getallen', kan je inderdaad proberen te vergelijken met zaken die je je kan voorstellen uit onze leefwereld. Maar dan merk je al snel dat het wiskundig veel gemakkelijker is om heel grote getallen te beschrijven en te benoemen, maar dat het niet zo eenvoudig is om je daar ook nog iets concreet bij voor te stellen.

Ik probeer je een idee te geven aan de hand van een aantal zaken die wij toch als heel groot zouden benoemen:
- het aantal sterren in ons melkwegstelsel is in de orde van 10¹¹ (100 miljard);
- het aantal mogelijke posities van een gewone Rubikskubus is in de orde van 10¹⁹ (43 triljoen, zie ook dit antwoord van een collega);
- het aantal zandkorrels op aarde is moeilijk te schatten, maar een veilige, ruwe bovengrens is 10²¹ (een triljard);
- het aantal sterren in het waarneembaar universum wordt geschat tussen 10²³ en 10²⁴ (een quadriljoen).

Hiermee komen we nog lang niet in de buurt van 10¹⁰⁰; misschien wel met het aantal atomen in plaats van zandkorrels?

Zand heeft een heel variabele samenstelling maar we zullen voor de eenvoud aannemen dat een zandkorrel uit zuiver SiO₂ bestaat: siliciumdioxide. Dat heeft een molmassa van ongeveer 60g/mol en aangezien één mol uit ongeveer 6,023 x 10²³ (het getal van Avogadro) deeltjes bestaat, hebben we ruwweg 10²² SiO₂-deeltjes per gram en omdat elk van die deeltjes uit 3 atomen bestaat, ongeveer 3 x 10²² atomen in een gram (zuiver siliciumdioxide-)zand.

De massa van de aarde is iets minder dan 6 x 10²⁷ gram. Als de hele massa van de aarde opgebouwd zou zijn uit het zand van hierboven, dan zou het aantal atomen op aarde ongeveer gelijk zijn aan 3 x 10²² (atomen per gram zand) x 6 x 10²⁷ (massa van de aarde in gram) = 1,8 x 10⁵⁰ atomen. Natuurlijk bestaat de aarde uit vele andere atomen, maar daar zitten zowel lichtere als zwaardere atomen tussen.

Met een grootteorde van 10⁵⁰ lijken we in de buurt te komen maar laat je niet misleiden, dit is verre van 'halverwege' ten opzichte van 10¹⁰⁰. We zouden, in deze ruwe schatting, voor elk atoom op aarde opnieuw eenzelfde aarde met 10⁵⁰ atomen moeten hebben om te komen tot 10⁵⁰ (aardes) x 10⁵⁰ (atomen per aarde) = 10¹⁰⁰ atomen in het totaal... Maar er zijn natuurlijk geen 10⁵⁰ aardes en het totaal aantal planeten wordt slechts geschat in de orde van 10²³-10²⁵.

Zelfs als men het totaal aantal elementaire deeltjes in het volledige universum (ruw!) zou schatten, komt men nog maar aan grootteordes tussen 10⁸⁰ en 10⁸⁵, nog vele veelvouden verwijderd van 10¹⁰⁰. Hoewel het dus niet moeilijk is om het getal op te schrijven, een 1 met 100 nullen, is het duidelijk dat het niet evident is om echt iets tastbaar te vinden dat qua grootte te vergelijken is met dit getal.

Het getal 10¹⁰⁰ kreeg de naam 'googol' en was de inspiratie voor de naam van het internetbedrijf Google. Wiskundig is het niet moeilijk om grotere getallen te maken en zo kreeg het getal 10^googol, dus een 1 gevolgd door googol of 10¹⁰⁰ nullen, de naam 'googolplex'. Google vernoemde hun hoofdkwartier naar dit getal: het googleplex.

Groeten,

Tom