Ik begrijp niet dat men spreekt over een n-sfeer i.v.m. het vermoeden van Poincaré, waarbij n een 4de, 5de ... dimensie is. Waarvoor staan deze dimensies?
Beste Willy,
Het korte antwoord is dat deze dimensies nergens voor staan. Juist dat maakt wiskundige resultaten zo vruchtbaar voor toepassingen. Laat mij deze ogenschijnlijke tegenspraak iets beter uitleggen.
Wiskunde is vaak geïnspireerd op natuurkunde (abstracte meetkunde is bijvoorbeeld geïnspireerd op concrete metingen en constructies met potlood, lineaal en passer), maar deze wetenschap van patronen hoeft zich niet te beperken tot de fysische werkelijkheid.
Het lijkt erop dat we in drie richtingen kunnen bewegen en dit kunnen we in de fysica voorstellen door drie dimensies. In de wiskunde is het begrip 'dimensie' echter abstracter: we geven het geen specifieke interpretatie. Juist daardoor kan wiskunde later weer toegepast worden in de fysica.
Laat me dit illustreren met een voorbeeld. Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie ontwikkelde, bleek het onderscheid tussen ruimte en tijd niet absoluut te zijn. Minkowski introduceerde hiervoor een vier-dimensionale structuur, die we nu de ruimte-tijd noemen. Juist doordat dimensies in de wiskunde geen specifieke, vaste interpretatie hebben, kunnen we er later nieuwe, soms totaal onverwachte toepassingen voor vinden.
Als we behalve positie en tijd ook de impuls en energie van een deeltje willen weergeven, hebben we acht dimensies nodig. Supersnarentheorie gebruikt zelfs nog meer dimensies. Aangezien er in de wiskunde heel wat stellingen (of in dit geval een vermoeden) zijn die voor een willekeurig aantal dimensies (n) gelden, kunnen deze later worden toegepast wanneer natuurkundigen besluiten dat een hoger aantal dimensies nuttig is om bepaalde aspecten van de werkelijkheid te beschrijven.
Om u een structuur in vier dimensies voor te stellen, kunt u uitgaan van een gewone drie-dimensionale ruimte, waarin iets in de tijd verandert. Daarbij moet u zich elk moment als een doorsnede van de vier-dimensionale structuur voorstellen. Om dit beter te begrijpen: lees de klassieker "Flatland: A Romance of Many Dimension" van Edwin A. Abbott of bekijk de gelijknamige film. Als u uw verbeelding nog verder wil oefenen wat dimensies voorbij de derde betreft, raad ik u het boek "Hyperruimte" van Michio Kaku aan.
Vriendelijke groeten,
Sylvia Wenmackers
PS: In bepaalde takken van de natuurkunde worden zelfs oneindig dimensionale structuren gebruikt (bijvoorbeeld Hilbertruimtes in de kwantummechanica). Ook daarvoor zijn er wiskundige stellingen. Dit is een hele uitdaging voor ons voorstellingsvermogen, maar wiskundigen en natuurkundigen die er dagelijks mee werken raken er aan gewoon en ontwikkelen er zo toch een intuïtief begrip voor.
Heel erg bedankt! Ik had me ook al afgevraagd wat al die dimensies voorstelden als men het bv. over de snaartheorie heeft. Het is me nu duidelijker geworden.
Snaartheorie gebruikt wel zeer veel wiskunde, maar is uiteindelijk bedoeld als een fysische theorie. Als men het daar heeft over tien dimensies, bedoelt men een tien-dimensionale ruimtetijd. Er zijn volgens deze theorie dus extra ruimtelijke richtingen, loodrecht op links-rechts, voor-achter en boven-onder - richtingen waarin wij mensen niet kunnen bewegen. Het boek van Kaku doet een poging om dit uit te leggen. Bij het Poincaré-vermoeden daarentegen is het niet noodzakelijk om de dimensies als ruimtelijk te interpreteren. Het zou ook toegepast kunnen worden om andere eigenschappen voor te stellen (temperatuur, kleur, ...), maar de wiskundige uitspraak is algemeen.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
Wetenschapsfilosofie, theoretische fysica en materiaalfysica.