Hoe berekenen we het aantal mogelijkheden van posities die een rubikscube kan hebben?

Antwoord

Om het aantal mogelijke posities te bepalen waarin een rubikskubus zich kan bevinden, moeten we onderzoeken
hoe elk vlakje afzonderlijk kan bewegen door draaiingen uit te voeren. Nadien moeten we nagaan in hoeverre elk
van de vlakjes onafhankelijk van alle andere vlakjes kan verplaatst worden. Wat hiermee precies bedoeld
wordt, zal verderop aan bod komen. Eerst zullen we de mogelijke bewegingen van de vlakjes afzonderlijk 
bespreken. 

We bekijken het aantal zichtbare onderdelen van de kubus. Er zijn acht blokjes op de hoeken, die 
uit precies drie gekleurde vlakjes bestaan. Er zijn ook 12 zijblokjes, één tussen elke twee hoekblokjes, die uit precies 2 gekleurde vlakjes bestaan. Tenslotte zijn er 6 blokjes die uit precies één gekleurd vlakje bestaan. Als je eender welke draaiing uitvoert, dan zal je zien dat elk van deze zes middelste blokjes die uit één gekleurd vlakje bestaan, in feite op zijn plaats blijft. Bijgevolg spelen deze zes middelste vlakjes geen rol bij het bepalen van het totaal aantal mogelijke posities van de kubus. We moeten dus enkel rekening houden met de 8 x 3 + 12 x 2 = 48 andere vlakjes.

Een tweede feit dat onmiddellijk duidelijk is, is dat een hoekblokje, door eender welke draaiing steeds weer op een 
hoek terecht komt (en een zijblokje, steeds weer tussen twee hoeken). Het is ook duidelijk dat je
drie vlakjes die op één hoekblokje voorkomen, niet uit elkaar kan halen door eender welke draaiing. Als je dus 
een dergelijk vlakje naar een andere hoek beweegt, dan zal die beweging de twee resterende vlakjes
naar dezelfde hoek bewegen. Voor de vlakjes op de zijblokjes geldt hetzeflde: als je één van hen naar een plaats
tussen twee hoeken beweegt, dan beweegt het andere mee naar een plaats tussen dezelfde twee hoeken. 

Het is geweten dat je de acht hoekblokjes onafhankelijk van elkaar kan bewegen. Of, anders geformuleerd, als
je de hoekpunten nummert van 1 tot en met 8, dan kan je een draaiing vinden die elk van de hoekblokjes naar één van die genummerde hoekpunten naar keuze zal bewegen. Als je enkel het aantal mogelijke standen van de hoekblokjes berekent, vind je dus dat er 1x2x3x...x7x8 = 8! = 40320 mogelijke posities zijn. Dit getal wordt als volgt bekomen: voor het eerste hoekblokje heb je 8 keuzes, voor het tweede nog 7, voor het derde nog 6, enz., tot het laatste overblijft, waar je maar één mogelijk hoekpunt voor hebt.  Iets vergelijkbaars geldt voor de zijblokjes: er zijn 12 mogelijke plaatsen waar een zijblokje terecht kan komen, dus als je enkel het aantal mogelijke standen van de zijblokjes berekent, vind je dat er 12! = 479001600 zijn. Merk hierbij de notatie op: wiskundigen
noteren een product van de vorm 1x2x...x 7x8 als 8! (genoemd: 8 'faculteit'). 

Nu moeten we kijken naar hoeveel mogelijkheden er zijn om de vlakjes die op één hoekblokje of een zijblokje liggen, te bewegen. Daarmee bedoelen we het volgende: als we enkel naar één gekozen hoekblokje kijken, dan bestaan er steeds draaiingen die het hoekblokje op hetzelfde hoekpunt vasthouden, maar die de gekleurde vlakjes op dat ene hoekblokje verplaatsen. Maar het aantal mogelijkheden is beperkt: men kan niet één gekleurd vlakje vasthouden, en de twee resterende omwisselen. Dus per hoekblokje zijn er maar drie mogelijke manieren waarop de vlakjes
zich kunnen bevinden. Met deze informatie kunnen we weer rekenen: er zijn acht hoekblokjes, voor elk blokje zijn er drie posities mogelijk voor de vlakjes, dit geeft 3⁸ x 8! = 264539520 mogelijke posities voor de vlakjes op de hoekblokjes. Maar, het is zo dat men niet alle hoekboekjes onafhankelijk van elkaar kan manipuleren. Als men de vlakjes van één hoekblokjes van positie wijzigt, dan is er altijd minstens één ander hoekblokje waar de vlakjes simultaan meewijzigen! In de berekening geeft dit één factor 3 minder, er zijn dus precies 3⁷ x 8! = 88179840 mogelijke posities van de kubus als we enkel naar de vlakjes op de hoekblokjes kijken. 

Voor de vlakjes op de zijblokjes geldt net hetzelfde principe, alleen de getallen zijn anders. We vatten samen.
- Elk van de zijblokjes heeft twee vlakjes, voor elk van de zijblokjes zijn er dus twee mogelijke standen, dus 2¹² x 12! = 1961990553600 mogelijke posities.
- Maar, als men de vlakjes van één zijblokje van positie wijzigt, dan is er altijd minstens één ander zijblokje waar de vlakjes simultaan meewijzigen, dit geeft dus 2¹¹ x 12! = 980995276800 mogelijke posities. 

We zijn nu klaar om het totaal aantal posities te berekenen. Ook hier is er nog één feit over de rubikskubus dat niet zo gemakkelijk in te zien is: ook de hoekblokjes en de zijblokjes zelf zijn niet volledig onafhankelijk van elkaar te manipuleren: het is zo dat als er één hoekblokje gemanipuleerd wordt, er altijd minstens één zijblokje is dat simultaan gemanipuleerd wordt. Dat maakt dat als we het totaal aantal verschillende posities van de Rubikskubus willen berekenen, we bovenstaande resultaten met elkaar mogen vermenigvuldigen, maar nadien het eindresultaat nog moeten delen door twee. Dan verschijnt het volgende resultaat dat je gemakkelijk kan narekenen: 

aantal mogelijke posities = (1/2) x 2¹¹ x 12! x 3⁷ x 8! = (1/2) x (980995276800 x 86504006548979712000) = 43252003274489856000, hetgeen inderdaad de 43 triljoen is!.

Wat hier nu beschreven werd, is in feite slechts het eerste deel van de wiskundige redenering. De feiten die we gebruikt hebben, namelijk welke mogelijkheden er precies zijn om de Rubikskubus te manipuleren, zijn niet zo eenvoudig in te zien. Om deze feiten te bewijzen, moeten we eigenlijk een studie maken van de symmetrie van de 
rubikskubus. Een dergelijke studie hoort thuis in het vak "groepentheorie'', een onderdeel van de wiskunde dat zich bezig houdt met de abstracte studie van symmetrieën, en wat heel veel toepassingen heeft binnen de wiskunde, de natuurkunde, en andere wetenschappen.