Als je bijv. de sinus van 31 graden wilt berekenen m.b.v. Taylorreeksen, moet je je graden eerst omzetten naar radialen. Anders kom je een totaal verschillend antwoord uit. Hoe komt dit?
Beste Myrthe
Dat is een goede vraag en eigenlijk ligt de kern van de zaak niet bij de Taylorreeksen, maar bij de (wiskundige) voordelen van het gebruik van radialen in plaats van graden en de (vervelende) gevolgen van toch aan graden als eenheid vast te willen houden. Aangezien je met Taylorreeksen bezig bent, ga ik ervan uit dat je al iets over limieten en afgeleiden geleerd hebt.
De meeste mensen vinden graden gemakkelijker en natuurlijker om mee te redeneren: de grootte inschatten van een hoek van 40° of 130° is voor de meesten onder ons sneller en eenvoudiger te doen dan een idee krijgen over een hoek van 1,23 rad of van 5π/7 rad. Nochtans wordt op een bepaald moment in het onderwijs overgeschakeld op radialen en daar zijn (wiskundig) goede redenen voor. De radiaal is een veel natuurlijkere eenheid en zorgt vooral voor eenvoudigere, elegantere formules.
Misschien heb je bij limieten ooit de standaardlimiet gezien van sin(x)/x, die uitdrukking gaat namelijk naar 1 als x naar 0 gaat. We zeggen ook wel dat voor kleine hoeken x, sin(x) ongeveer gelijk is aan x. Je kan dit op een meetkundige manier aantonen (zie bijgevoegde link) maar dan gebruik je wel ergens de formule voor de oppervlakte van een cirkelsector en daarin staat de hoek in radialen. In die standaardlimiet moet x dus ook uitgedrukt zijn in radialen, anders is het resultaat niet 1 maar π/180. Ook de uitspraak dat sin(x) ≈ x als x klein is, klopt wel voor x in radialen maar niet voor x in graden.
Deze standaardlimiet kom je vanzelf tegen als je (met de definitie) de afgeleide van de sinus wil bepalen. Met x in radialen levert dat de bekende formule:
(sin(x))' = cos(x)
maar als je de hoek in graden wil uitdrukken, krijg je:
(sin(x°))' = π/180 cos(x°)
en dat is toch een stuk minder elegant. Bovendien weet je wellicht dat de coëfficiënten in de Taylorreeksen bepaald kunnen worden met behulp van afgeleiden; die vervelende afgeleide in het geval van graden heeft dus gevolgen voor de Taylorreeks, als je die in graden wilt.
Je mag dus gerust graden gebruiken in Taylorreeksen, maar dan moet je ook de Taylorreeks gebruiken waarbij x in graden staat...! In plaats van de bekende en vrij eenvoudige Taylorreeks (met x in radialen):
sin(x) = x - x3/3! + x5/5! - ...
wordt dat dan (met x in graden):
sin(x°) = π/180 x - (π/180)3 x3/3! + (π/180)5 x5/5! - ...
En dat is niet alleen vervelender om te onthouden, het is ook vervelender om te gebruiken. Dan is het handiger om maar één (eenvoudige) Taylorreeks te moeten kennen, maar de hoek vooraf wel even in radialen om te zetten. Dat komt uiteraard op hetzelfde neer want die omzetting zorgt net voor de extra factor π/180.
Groeten
Tom
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
© 2008-2025
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be
