Hoe heeft men de oppervlakte van een cirkel kunnen controleren? Hoe weten ze dat de omtrek en de oppervlakte van een cirkel met Pi moeten worden berekend?

Antwoord

Beste Linde,

Dat de verhouding tussen de straal en de omtrek van een cirkel steeds dezelfde is voor alle cirkels is iets dat men al zeer lang weet. Hoe lang precies, dat weten we niet. We kunnen alleen maar veronderstellen dat men dat precies is gaan uitzoeken toen men begon huizen te bouwen. We vinden de eerste bepalingen voor pi bij de Babyloniërs en de Egyptenaren. De Babyloniers bouwden met bakstenen. Stel nu dat je een cirkelvormig terein wil afbakenen met bakstenen. De beste manier is dat er iemand in het midden gaat staan met een touw en dat iemand anders de omtrek aftekent. Als de lengte van het touw gelijk is aan 100 bakstenen, hoeveel heb je er dan nodig voor de omtrek? Daarvoor heb je dus de waarde van pi nodig. De Babyloniers gebruikten de waarde 3 en 1/8, ongeveer 2000 v.C. De Egyptenaren gebruikten volgende methode om de oppervlakte te berekenen van een cirkel (volgens de Rhind papyrus van 1500 v. C.): "trek een negende deel af van de diameter van de cirkel. Maak dan een vierkant met de rest als zijde". Dit komt overeen met een waarde van 3,16049 voor pi.

Hoe kun je nu pi berekenen en wie was de eerste die dat gedaan heeft? De oudste gekende tekst die een berekeningsmethode geeft voor pi is "De meting van een cirkel" door Archimedes, van ongeveer 250 v. C. Zijn methode is gebaseerd op de berekening van de oppervlakte van een veelhoek aan de buitenkant en de binnenkant van de cirkel. Om dit uit te leggen beginnen we best met een vierkant. Teken een cirkel met een gekende diameter. Teken dan een vierkant binnen die cirkel en een vierkant buiten die cirkel. De oppervlakte van de cirkel ligt tussen de oppervlakte van de twee vierkanten die we kunnen berekenen. Hieruit kunnen we een ondergrens en een bovengrens voor de waarde van pi bepalen. Nu is een vierkant maar een slechte benadering van de cirkel. Als we een veelhoek gebruiken dan komen we veel dichter bij een cirkel. Archimedes gebruikte een veelhoek van 96 zijden en kwam zo tot een waarde van pi tussen 3 1/7 en 3 10/71 (of tussen 3,1408... en 3,1428...).