Hoe bewijs je dat een functie die strikt stijgend is in elk punt van een interval ook stijgend is over het gehele interval?

Antwoord

Beste Julie,

Het hangt er van af hoe je het begrip "lokaal strikt stijgend" in een punt a gedefinieerd hebt. De meest gangbare definitie is dat a in een open interval gelegen is waarover de functie strikt stijgt, d.w.z., voor willekeurige waarden x en x' van dit interval geldt dat x<x' als en slechts als f(x)<f(x'). Ik zal mij daarop baseren. Indien de functie continu is, dan kan men de stelling van Weierstrass gebruiken, die zegt dat de functie haar exreme waarden over een gesloten interval werkelijk bereikt. Wegens de lokaal strikt stijgendheid zie je dan meteen in dat deze extreme waarden in begin- en eindpunt van de functie moeten gelegen zijn, wat de globale strikt stijgendheid aantoont, indien je dit doet voor een willekeurig gesloten deelinterval van het interval waarover je werkt. Merk op dat de stelling van Weierstrass niet geldt over Q. Dus dat is een eigenschap van R die niet geldt voor Q. 

Als de functie niet continu is, moeten we meer moeite doen. Dat is logisch, want we kunnen niet meer steunen op de continuïteit, of de afleidbaarheid, simpelweg omdat we niet meer onderstellen dat de functie continu is. Ik geef je een bewijsje dat gebruik maakt van de definitie van compactheid van een interval. Deze definitie zegt dat een deelverzameling van een topologische ruimte (zoals R en Q) compact is indien elke bedekking met open verzamelingen een eindige deelbedekking heeft. In mensentaal toegepast op ons probleem: het gesloten interval [a,b] heeft in R de volgende eigenschap: indien de unie van een verzameling open intervallen het interval [a,b] bevat, dan is er een eindige deelverzameling van die verzameling intervallen wiens unie [a,b] bevat. Nu weten we dat voor elk punt c in [a,b] er een open interval rond c bestaat waarin de functie strikt stijgt. De unie van al zulke intervallen bevat [a,b], want elk punt van [a,b] is bevat in zijn "eigen" interval. Dus we kunnen een eindige verzameling V van zulke intervallen nemen wiens unie toch nog [a,b] bevat. Indien een interval uit V bevat is in een ander interval van V, dan kunnen we dit interval verwijderen uit V. We ordenen de beginpunten van de intervallen in V in stijgende volgorde: b0,b1,b2,...,bn. We schrappen alle waarden daaruit die kleiner zijn dan a en voegen a links toe, en b rechts. We hernummeren en hernoemen en bekomen a,c1,c2,...,cm,b. voor elke i ligt ]ci,c{i+1}[ in het interval dat begint met ci, anders is het bevat in een ander interval (dat begint met kleinere cj). De lokale strikt stijgendheid impliceert dan f(ci)<f(c{i+1}). Analoog liggen a en c1 in het interval van V dat begint met één van de getallen die we geschrapt hebben, en we verkrijgen dus f(a)<f(c1), en analoog ook f(cm)<f(b). Al die ongelijkheden na elkaar gezet volgt er f(a)<f(b). Dit kan gedaan worden voor elke twee punten uit dit interval, dus de globale strikt stijgendheid is aangetoond.

Het kan zijn dat er een eenvoudiger bewijsje bestaat, maar dit is het eerste waar ik zelf op dacht. Het gebruikt de eigenschap dat in R gesloten intervallen compact zijn, terwijl dit in Q niet zo is. En inderdaad, in Q is de bewering niet waar, zoals je zelf ook lijkt aan te geven. Een voorbeeld van een oneindige verzameling open intervallen die het interval [0,1] bedekken en geen eindige deelverzameling hebben met deze eigenschap gaat als volgt: stel de wortel van 1/2 voor door a, en definieer de intervallen ]a-(1/n),a-(1/2n)[, waarbij n de natuurlijke getallen doorloopt. Samen met het interval ]a,2[ bedekken deze [0,1] in Q (a zelf is geen element van Q!). Maar er bestaat geen eindige deelbedekking (je kan dit zelf inzien).

Indien iets niet duidelijk is (wat goed kan, want ik weet niet of het goed uitgelegd is...) mag je mij steeds om nadere uitleg vragen.

Vriendelijke groeten,

--Hendrik Van Maldeghem