Hoeveel combinaties kan men maken met de getallen 0,9,4,4?

Antwoord

Je kan met 4 verschillende cijfers 4 x 3 x 2 x 1 volgordes maken. Heel eenvoudig omdat je de eerste keer kan kiezen uit 4, die keuzes kan je dan uitbreiden door voor het 2de cijfer uit drie te kiezen enz. Dat heet een "permutatie" van 4, en het aantal is dus 4-faculteit:  4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. In het algemeen, voor n keuzes wordt dat dus  n! = n .(n-1).(n-2).  ...  3.2.1

Als een cijfer meerdere keren voorkomt kan je als volgt redeneren. Stel even dat we twee 'verschillende' vieren hebben, 4A en 4B. Dan hebben we dus weer vier verschillende cijfers: 0 , 9 , 4R en 4B, en dat geeft dus zoals hierboven opnieuw 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 mogelijkheden.

Maar dat zijn er te veel want in realiteit kunnen we die twee vieren niet onderscheiden. Een combinaite 0 4A 9 4B is immers hetzelfde als 0 4B 9 4A. Als we de letters weglaten wordt dat immers tweemaal 0 4 9 4.  Het totaal aantal moet dus hier gehalveerd worden want je kan 4A en 4B op twee manieren ordenen. Dus worden het er 24 / 2 = 12

0449  0494  0944  4049  4094  4409  4490  4904  4940  9044  9404  9440

Zo'n permutatie waabij bepaalde waarden meerdere keren voorkomen heet een "herhalingspermutatie". Je doet eerst alsof het een gewone permutatie is (dus  n! ) en dan deel je door het aantal onderlinge mogelijkheden van de waarde die herhaald wordt. Als er meerdere waarden herhaald worden moet je corrigeren voor elk van die waarden (zie verder)

Wat als er bijvoobeeld 3 vieren inzitten, dus  0 4 4 4 9 ?

Opnieuw beschouwen we eerst de drie vieren als verschillend (4A,4B en 4C) zodat we nu 5 verschillende cijfers hebben. Dat geeft 5! = 120 mogelijke ordeningen.

Vervolgens kijken we op hoeveel manieren die 3 beletterde vieren kunnen geordend worden, dat is 3! = 6  

 Het aantal echt verschillende ordeningen is dus onze 120 gedeeld door 6, en dat is 20

04449  04494  04944  09444

40449  40494  40944  44049  44094  44409  44490  44904  44940  49044  49404  49440

90444  94044  94404  94440

Of neem 10 cijfers :  3 vieren en 2 vijven en nog vijf andere die 1 keer voorkomen. Totaal aantal mogelijkheden van deze herhalingspermutatie is dan  10! / ( 3! . 2! ) = 302 400