Verkrijg je een sinusfunctie met een 2D projectie van een touw die rond een buis draait?

Antwoord

Als je een touw rond een cilinder wentelt op de manier waarop je het tekent, dus een een constante verschuiving in de horizontale riching op jouw tekening, dan krijg je een zogenaamde schroeflijn. Bijvoorbeeld, neem een cilinder rond de z-as met straal a, en beweeg met constante snelheid b omhoog terwijl je ronddraait met periode 2.pi , dan krijg je:

r(t)  =  a cos(t)  1_x + a sin(t) 1y + b.t 1_z

Per toename van 2.pi maak je één omwenteling en stijg je daarbij over een afstand 2.pi.b in de Z-richting. Voorbeelden uit de practijk zijn bijvoorbeeld de DNA-structuur,of de 'draad' van een schroef.... En in de Vatikaanse Musea heb je een spectaculaire dubbele wenteltrap, twee in elkaar genestelde schroeflijnen, een om te stijgen en een om naar beneden te komen. Zoek maar eens naar foto's op google.

Stel nu dat je de bovenstaande schroeflijn projecteert op het YZ-vlak  (dat de cilinder op twee rechten snijdt) , dan doe je dat door gewoon x gelijk aan nul te nemen

dan blijft  y = a sin(t)   en  z = b.t

en hieruit kan je t elimineren tot

y = a sin( z/b )

dus inderdaad een sinus die in het YZ-vlak ligt. De periode van deze sinus is   2.pi.b

Op mijn figuur zie je één omwenteling van de schroeflijn (rood) en haar projectie op het YZ-vlak. De X-as loopt op de figuur min of meer horizontaal van rechts (negatief) naar links (positief). De Y-as loopt van achter naar voor, de Z-as staat verticaal.

Het getekende stuk van de schroeflijn begint links onderaan in het punt ( a , 0 , 0 ) waar t = 0  en eindigt pal daarboven in ( a , 0 , 2.pi.b) waar t = 2.pi.  De projectie op het YZ-vlak is een sinus waarbij y functie van de hoogte z is.

Nog een aanvulling :

Als je op een ander toegelaten vlak projecteert krijg je nog steeds een sinus-golf met dezelfde periode, maar voor z=0 zal de sinus zelf niet meer nul zijn. De sinus die je dan krijgt is verschoven over een zekere afstand langs de z-as. Die afstand heet de "fase". Bijvoorbeeld, als je projecteert op het XZ-vlak (door y = 0 te stellen) krijg je na eliminatie

x = a cos(z/b).

Maar uiteindelijk is een cosinus gewoon een sinus die over  - Pi/2 verschoven is.

Immers:  cos(t) = sin(t+ Pi/2)

dus kan je evengoed schrijven:  x = a sin ( z/b + Pi/2 )

en je cosinus is nu een sinus geworden.