Duurt een omloop rond de zon langer als de baan elliptischer en langer wordt?

Antwoord

De periode van een planeetbaan hangt volgens de wet van Kepler alleen af van de halve lange as van de ellips. De aarde beweegt in een ellipsbaan waardoor haar afstand tot de Zon varieert tussen 147098290 km en 152098232 km. De halve lange as is het gemiddelde van die twee : a = 149598261 km

Een planeet in een cirkelbaan met deze straal zou dus in precies dezelfde tijd als de aarde rond de zon draaien. Een planeet in een veel excentrischer baan, bijvoorbeeld tussen 49598261 kmen 249598261 km ook, want dat geeft dezelfd halve lange as.

Dus: als je de excentriciteit ( = de mate van "ellipsheid", nul voor een cirkel) verandert, maar je behoudt de halve lange as, dan blijft de omlooptijd gelijk.

De halve lange as en de periode zijn onderling verbonden door de relatie : 4 pi² a³ = P² G Mz   met a in meter, P in seconde, Mz is de massa van de Zon. Als je de periode P in jaren uitdrukt en de halve lange as in A.U. (astronomische eenheden) dan wordt dit voor een object dat rond de zon draait gewoon   a³ = P²

De beweging van een planeet rond de zon heeft inderdaad te maken met behoudt van impulsmoment. Het impulsmoment is gedefinieerd als

L = r x mv

de vette letters zijn vectoren, de  x staat voor het vectorieel product. De vector L staat loodrecht op het vlak waarin r en v liggen, en die vector L blijft behouden, zowel in grootte als in richting.  De twee andere vectoren kunnen dus wel wijzigen (in grootte, in richting) maar enkel op zo'n manier dat L behouden blijft. Ze kunnen dus niet onafhankelijk van elkaar veranderen. De grootte van het impulsmoment volgt uit de definitie van de norm van een vectoriëel product. Dat geeft dus

|| L ||  =  m ||r|| . ||v|| sin(t)

met t de hoek tussen de vectoren r en v. In een cirkelbaan is die hoek steeds 90° en is ||r||  constant, en gezien het impulsmoment behouden blijft is dus ook   ||v||  constant. In een ellipsbaan is ||r|| niet constant, en ook de hoek t niet. Daardoor is ook||v|| niet constant. Als we even de hoek t constant gelijk aan 90° nemen (bij een flauwe ellips zoals de aardbaan is dat een eerste benadering) volgt uit het behoud van impulsmoment dat, als  ||r||  daalt, ||v|| moet stijgen. Ook het baanvlak zelf wordt dus behouden omdat ook de richting van L, loodrecht op dat vlak, niet kan veranderen.

Kijk op bijgaande figuur: je ziet een ellipsbaan met de Zon in een brandpunt (3,0). Voor twee posities van de planeet zijn de voerstraal r, de snelheidsvector v en de hoek (groen) aangegeven. Terwijl de planeet rond de Zon draait is het product van de lengte van r, de lengte van v en de sinus van de groene hoek constant. Je kan ook zeggen dat de oppervlakte van het parallellogram met deze twee vectoren als zijden constant blijft.

Als de aarde zich het dichst bij de zon bevindt is haar snelheid dus het hoogst, en omgekeerd. Maar hetzelfde geldt ook voor een maan of een satelliet in een baan om een planeet. Zie een mooi figuurtje op :  http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/amom.html

Let wel, in het zonnestelsel is het allemaal zo rooskleurig niet want de planeten beïnvloeden elkaar en zijn geen puntmassa's. Daardoor kan er bijvoorbeel impulsmoment van de baanbeweging overgaan naar de asomwenteling, en gaan de banen elkaar ook beïnvloeden. Zo heeft de maan haar asomwenteling al omgevormd zodat ze steeds met dezelfde kant naar de aarde wijst. Ook Merurius zit gevangen in zo'n spin-baanresonantie, evenals de meeste maantjes bij de grote planeten.