Hoe groot is de kans dat 2 naast elkaar liggende kerstlichtjes uitvallen?

Bert, 50 jaar
24 februari 2014

Hoe groot is de kans dat 2 naast elkaar gelegen lampen in een kerstverlichting uitvallen, indien de uitvalkans van 1 lamp bv. 1/20000 is en er 120 lampen in het totaal zijn? Hoe kan dit worden berekend?

Antwoord

Beste Bert,

Volgens mijn redenering is die kans zo'n 3 × 10-7 of dus 0.0000003 voor de waarden die je geeft. Ik zal uitleggen hoe ik eraan kom, maar dan meer algemeen: zij n het aantal lampjes (voor jou dus = 120) en p de kans dat in het snoer een specifiek lampje uitvalt (voor jou dus = 1/20000). In de laatste paragraaf leg ik uit hoe je gemakkelijk een benadering kan vinden van die kans.

We gaan de gevraagde kans eerst exact bepalen aan de hand van "configuraties": een staat van het kerstverlichtingssnoer waarin bepaalde lampjes werken en bepaalde niet. Er zijn zo in totaal 2n configuraties, je kan namelijk voor elk van de n lampjes kiezen of het werkt of niet. Natuurlijk is niet elke configuratie even waarschijnlijk. Een specifieke configuratie waarin k welbepaalde lampjes defect zijn en de overige n-k werken, heeft een kans van pk · (1-p)n-k. Bijvoorbeeld: de kans dat ze allemaal werken is dan (1-p)n : in jouw geval dus 99.4 %.

Het aantal configuraties met precies k defecte lampen is het gelijk aantal manieren om k objecten uit n te selecteren, dus het binomiaalgetal n! / (k! (n-k)!) dat ik zal noteren als binom(n,k). Dus de kans op een configuratie met k defecte lampen is gelijk aan binom(n,k) · pk · (1-p)n-k. En inderdaad, wegens het binomium van Newton is de som van deze termen precies gelijk aan 1. In symbolen: Σk=0n binom(n,k) · pk · (1-p)n-k = 1.

Om de gevraagde kans te vinden, zullen we dezelfde berekening doen, maar dan met het aantal configuraties met defecte lampen waarvan er minstens twee naast elkaar defect zijn, in plaats van met het totale aantal configuraties met k defecte lampen. Ik ga er hier vanuit dat het snoer niet "gesloten" is, dus dat het eerste en het laatste lampje, dat door de stekker gescheiden zijn, niet aanzien worden als "naast elkaar".

Hoeveel configuraties met 0 defecte lampen zijn er, waarvan minstens twee naast elkaar defect? Eenvoudig: 0. Hoeveel dergelijke configuraties zijn er met 1 defecte lamp? Wederom 0.

Hoeveel configuraties met 2 defecte lampen zijn er, waarvan minstens twee naast elkaar defect? Het kapotte-lampenpaar kan op n - 1 plaatsen gezet worden (zoveel keuzes voor de eerste kapotte lamp, de volgende komt er meteen na -- enkel de laatste lamp is geen optie als keuze voor eerste lamp van het kapotte paar).

Hoeveel configuraties met 3 defecte lampen zijn er, waarvan minstens twee naast elkaar defect? Het aantal waarbij er drie op een rij defect zijn, is n - 2 (bereken zoals hierboven). Alle andere configuraties hebben twee defecte naast elkaar en dan nog één niet ernaast. Als het kapotte paar aan een uiteinde zit (kan op 2 manieren), zijn er nog n - 3 mogelijkheden voor de andere kapotte lamp; als het kapotte paar niet aan een uiteinde zit (kan op - 3 manieren), zijn er nog n - 4 mogelijkheden voor de andere kapotte lamp. In totaal zijn er dus (n - 2) + 2 · (- 3) + (n - 3)·(n - 4) = (n - 2)2 configuraties met 3 defecte lampen, waarvan minstens twee naast elkaar gelegen.

Zo kan je verder doen, maar het rechtstreeks berekenen wordt al rap ingewikkeld. Van het aantal configuraties met k defecte lampen, waarvan minstens twee naast elkaar defect, kan men beredeneren dat dit binom(n,k) - binom(n-k+1,k) moet zijn, maar die redenering zal ik hier niet uiteenzetten. Je kan wel opmerken dat voor k = 0, 1, 2 en 3 dit precies de berekende waarde oplevert.

De totale kans is dus de som Σk=0n (binom(n,k) -  binom(n-k+1,k)) · pk · (1-p)n-k = 1 - Σk=0n binom(n-k+1,k) · pk · (1-p)n-k. Voor = 120 en = 1/20000 geeft dit 2.975 × 10-7. Voor = 120 en p = 1/10 zou dat zo'n 66.603 % zijn, voor = 120 en p = 1/20 zou dat ongeveer 25 % zijn.

Als de uitvalkans zeer laag is, zoals 1/20 000, kan men die kans afschatten door enkel te rekenen met configuraties met weinig kapotte lampen. Immers, de kans dat een bepaalde configuratie met 3 of meer kapotte lampen voorkomt, is zeer klein. Om precies te zijn: die kans is ten hoogste 3 · (1-pn-3, wat voor p = 1/20000 en n = 120 kleiner is dan 1.2 × 10-13. Als we die "afronden" tot 0, bepalen we eigenlijk de kans op één van de n - 2 configuraties met precies twee kapotte lampen naast elkaar, en al de rest werkend. Elk van die configuraties heeft kans 2 · (1-pn-2, wat betekent dat (n - 2) · 2 · (1-pn-2 een zeer accurate benadering is, als tenminste p klein genoeg is en pakweg groter dan 3.

Hopelijk lost dat je vraag op!

Beste groeten,

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw