Wat is de kans dat 2 voetballers elkaar in gedachten nemen?

Antwoord

Beste Steven,

Volgens mij is die kans ongeveer 67.2 %. Je programmaatje zit daar niet veraf. Hoewel de vraagstelling eenvoudig klinkt, is het antwoord een stuk moeilijker. Het lijkt me dan ook niet helemaal verwonderlijk dat je leraars het niet konden oplossen!

Er zijn vele mogelijke “configuraties”, waarbij de twintig spelers elk één van de tien tegenstanders in gedachten hebben. Het totaal aantal mogelijkheden is hier 10²⁰. Ik zal aannemen dat elk ervan even waarschijnlijk is. De kans dat een willekeurige configuratie er één is waarbij minstens één paar tegenstanders elkaar in gedachten heeft, is dan het quotiënt met als teller het aantal mogelijke configuraties met minstens één zo’n paar, en als noemer het totale aantal mogelijke configuraties, 10²⁰. Vanaf nu tel ik het aantal configuraties waarbij twee voetballers elkaar in gedachten hebben. Daarvoor is het nuttig om op voorhand te weten wat het inclusie-exclusieprincipe is. Ook: ik zal binom(n,k) noteren voor het binomiaalgetal dat telt op hoeveel manieren men k objecten kan kiezen uit n.

Neem een vaste speler L.i uit team L en een vaste speler R.j uit team R (bijvoorbeeld L.3 en R.8). Hoeveel configuraties zijn er waarbij L.i en R.j elkaar in gedachten hebben? Wel, 10¹⁸, want er liggen geen voorwaarden op de gedachten van elk van de overige spelers. Op hoeveel manieren konden we L.i uit team L en R.j uit team R kiezen? Wel, op 10·10 manieren. Dus het aantal drietallen (L.i, R.j, π), waarbij L.i een speler is uit L, R.j een speler uit R en π een configuratie is waarin L.i en R.j elkaar in gedachten hebben, is gelijk aan 10¹⁸·10·10. Let op: dit is zeker niet het aantal configuraties waarbij er een paar elkaar in gedachten heeft! We hebben immers elke configuratie waarbij er twee paren tegenstanders elkaar in gedachten hadden, op deze manier twee keer geteld! Dus die zullen we nu van ons voorlopig resultaat aftrekken.

Stel dat L.i₁ en L.i₂ twee vaste spelers zijn uit team L en R.j₁ en R.j₂ twee vaste spelers uit team R. Hoeveel configuraties zijn er, waarin L.i₁ en R.j₁ enerzijds, en L.i₂ en R.j₂ anderzijds, elkaar in gedachten hebben? Wel, 10¹⁶, want op wie de zestien andere spelers in gedachten hebben, liggen geen restricties. Op hoeveel manieren kunnen we nu de twee paren L.i₁ – R.j₁ en L.i₂ – R.j₂ kiezen? Om de twee spelers uit L te kiezen, zijn er binom(10,2) mogelijkheden en voor de spelers {R.j₁, R.j₂} zijn er ook binom(10,2). Eens die gekozen zijn, zijn er nog twee manieren om er twee paren van te maken, namelijk (L.i₁ – R.j₁ en L.i₂ – R.j₂₎, maar ook (L.i₁ – R.j₂ en L.i₂ – R.j₁). Dus het totaal aantal vijftallen (L.i₁, L.i₂, R.j₁, R.j₂, π), waarbij L.i₁ en R.j₁ elkaar in gedachten hebben, en ook L.i₂ en R.j₂, is gelijk aan binom(10,2)·binom(10,2)·2·10¹⁶.

Die moeten we dus van ons eerste resultaat aftrekken. Maar wat met de configuraties π waarin drie paar spelers elkaar in gedachten hadden? Die hebben we elk drie keer geteld door de eerste telling, en die configuraties π komen ook drie keer voor in zo’n vijftal (L.i₁, L.i₂, R.j₁, R.j₂, π) uit onze tweede telling. Dus we hebben ze eerst drie keer geteld, en er vervolgens drie keer vanaf getrokken. Kortom: we hebben die nog niet geteld en we moeten die er weer bijtellen. Dan zullen we het aantal configuraties met (minstens) 4 paren er weer van aftrekken, enzovoort.

Ik stel nu even dat er n spelers zijn, in plaats van 10. Hoe ziet de k-de term eruit in de uiteindelijke som? Als L.i₁, L.i₂, …, L.i_k verschillende vaste spelers zijn uit team L en R.j₁, R.j₂, …, R.j_k verschillende spelers zijn uit team R, dan zijn er n^2n-2k configuraties waarbij L.i₁ en R.j₁ elkaar in gedachten hebben, L.i₂ en R.j₂ elkaar, …, tot en met L.i_k en R.j_k. Immers, voor elk van de 2n - 2k overige spelers zijn alle n de tegenstanders mogelijk. Op hoeveel manieren kunnen we nu L.i₁, L.i₂, …, L.i_k kiezen uit team L? Op binom(n,k) manieren, en hetzelfde geldt voor team R. Op hoeveel manieren kunnen we de k L-spelers nu matchen met de k R-spelers? Op k! manieren. Dus het aantal 2k+1-tallen (L.i₁, L.i₂, …, L.i_k, R.j₁, R.j₂, …, R.j_k, π) waarbij de spelersparen L.i_t – R.j_t elkaar in gedachten hebben voor t=1,…,k, is gelijk aan binom(n,k)²·k!·n^2n-2k. Als k=1 of k=2, dan krijgen we de hiervoor berekende waarden. Merk op de waarde voor k=n precies gelijk is aan n!. Dat is inderdaad het aantal configuraties waarbij alle spelers verdeeld zijn in n paren die elkaar in gedachten hebben.

Die termen gaan we dus om beurt optellen en aftrekken. Als k=1, k=3, … kortom, voor oneven k, zal de term positief zijn. Voor k=2, k=4, … dus voor even k, zullen we de term een minteken geven in de uiteindelijke som. Dat teken kunnen we in één getal vatten: (-1)^k+1.

Dus het totaal aantal configuraties waarbij er minstens één paar tegenstanders elkaar in gedachten heeft, is de som, voor k van 1 tot n, van (-1)^k+1 · binom(n,k)²·k!·n^2n-2k. De fractie van dit getal tot n²ⁿ is de kans dat, wanneer spelers van n-koppige sportploegen elk een tegenstander in gedachten nemen, minstens één paar van twee tegenstanders elkaar in gedachten neemt.

Die fractie is een dalende, convergente functie van n, die voor n=10 uitkomt op 0.671547, meer exact 10492922087991433/15625000000000000. Als n naar oneindig nadert, nadert de kans naar1- lim_n→∞ (1-1/n)ⁿ =1-1/e ≈ 0.63212.